gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe

Question

Zu zeigen ist, dass folgende Funktionenreihe gleichmäßig konvergiert:

$$ f: (-1, 1)\rightarrow \mathbb{R} $$
$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x }{ x^2 - n^2}} $$

Mir ist bewusst, dass das mit dem Weierstraßschen Majorantenkriterium funktionieren sollte.. jedoch fällt mir irgendwie keine geeignete Majorante ein, mit welcher man das Kriterium anwenden kann.

Stehe schon seit einer ganzen Weile auf den Schlauch und hoffe auf Hilfe.. danke schon mal!

Answer 1

Du sollst $$\left|\frac{x}{x^2-n^2}\right|=\frac{|x|}{|x^2-n^2|}=\frac{|x|}{n^2-x^2}$$ unabhaengig von \(x\in(-1,1)\) nach oben abschaetzen. Dazu schaetzt Du den Zaehler nach oben ab und den Nenner nach unten. Ist doch offensichtlich, wie das hier geht.

Comments

Ja.. ich war da wirklich bisschen blind, danke!