zum vektor w einen vektor e aus E berechnen

Question

es geht um Aufgabe iii):Ich weiß nicht was hier gemacht werden soll. Mit den Betragsstrichen ist ja eine Länge von einem Verbindungsvektor w-x gemeint, aber ein Ansatz fehlt mir bei der Aufgabe noch.

Comments

Wie ist der Ausdruck

Ebene \( E := <v_1,v_2>\)

zu verstehen? Rechts steht IMHO ein Skalarprodukt zweier konstanter Vektoren (Ergebnis ist 2). Wie kommt man damit zu einer Ebene?

---

E wird die lineare Hülle der beiden Vektoren sein.

Answer 1

Hallo Simon,

Wenn der Ausdruck (s. Kommentar) die lineare Hülle ist, so gilt für jeden Punkt \(x\) der Ebene $$x=\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2$$ und der Abstand eines Punktes \(x\) der Ebene zu \(w\) ist $$| w - x|=\sqrt{ w^2 - 2wx + x^2 }$$ Leitet man dies nach \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) ab und setzt die beiden Ableitungen zu 0, so erhält man ein Gleichungssystem der Form $$\begin{pmatrix} {v_1}^2 & v_1 v_2 \\ v_1 v_2 &  {v_2}^2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}w v_1 \\ w v_2 \end{pmatrix}$$ Einsetzen der Zahlenwerte und Auflösen ergibt \(\lambda_1=0,75\) und \(\lambda_2=-1\) bzw.: $$e= \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

Kannst du nochmal erklären was man hier jetzt genau ableitet und wie man davon auf das Gleichungssystem kommt? 

---

Hallo Simon,

leite den Ausdruck, der den Abstand liefert, nach den \(\lambda\)'s ab und setzte ihn jeweils zu 0. Ableiten nach \(\lambda_1\) ergibt:

\(\frac{\delta |w-x|}{\delta \lambda_1}=\frac{ -w v_1 + x v_1}{\sqrt{w^2-2wx+x^2}}=0\)

genauso für \(\lambda_2\). Im folgenden braucht man nur noch die Zähler zu betrachten und gleichzeitig setzte ich den Ausdruck für \(x\) wieder ein (s.o.). Dann erhält man die beiden Gleichungen:

\( (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) v_1 = w v_1 \)

\( (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) v_2 = w v_2 \)

mit den Unbekannten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\). Schreibt man dies in der Matrix-Schreibweise erhält man den Ausdruck aus meiner Antwort.

Gruß Werner