Verschachtelte Betragsungleichung ||x-1|-5| > |x+3|

Question

mit verschachtelten Betragsungleichungen komme ich leider nicht so parat und weiß nicht einmal wie ich vorgehen soll.

Z.B.: ||x-1|-5| > |x+3|

GN8

Answer 1

ABS(ABS(x - 1) - 5) > ABS(x + 3)

Unterscheidungsgrenzen:

x - 1 = 0 --> x = 1

ABS(x - 1) - 5 = 0 --> x = -4 ∨ x = 6

x + 3 = 0 --> x = -3

Du unterscheidest nun folgende Fälle:

1. Fall: x <= -4

2. Fall: -4 <= x <= -3

3. Fall: -3 <= x <= 1

4. Fall: 1 <= x <= 6

5. Fall: 6 <= x

Schaffst du den Rest alleine ?

Ich komme auf die Lösung: -3.5 < x < 1.5

Verwende die mal nur zur Kontrolle.

Comments

So, ich hab die Aufgabe zwar geschafft, aber so manches verwirrt mich immernoch.

1) Wenn ich bspw. die Fallunterschreidung zwischen zwei Punkten machen muss, wie in
FALL 2:                      
-4 <= x <= 3

Dann stelle ich mir ja ein x vor, welches dazwischen liegt und schaue was mit dem Betrag passiert.
Nur verstehe ich nicht, welches x ich denn nehme. Hätte ich mir nämlich bei FALL 2 nicht -3,5,
sondern 3 "vorgestellt", wäre |x+3| positiv geblieben und das Ergebnis wäre am Ende nicht x > -3,5, sondern x < 1,5. Damit hätte ich zwar schon das Ergebnis für Fall 3 (denn da habe ich 3 eingesetzt), aber wüsste nicht, dass auch x > -3,5 ist.
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
Gibt es also ein Rezept, welche Zahl man sich "denkt", wenn man die Fallunterscheidung macht?

2) Wenn ich bei Fall 4 schon merke, dass es falsch ist, muss ich dann noch Fall 5 prüfen?
Hab's zwar getan, aber war wie erwartet ebenso falsch.

Grüße

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Du musst schon ein x Wert nehmen welches zwischen den Grenzfällen ist. Also im 2. Fall z.B. etwas zwischen -4 und -3. Da dort keine ganzen Zahlen dazwischen liegen muss man eben eine rationale Zahl nehmen.

Und 3 liegt nicht im 2. Fall. Beachte

2. Fall: -4 <= x <= -3

Wenn du aus einem Fall schon schließen kannst, dass ein anderer auch nicht geht brauchst du den nicht mehr prüfen.

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FALL 2:                      
-4 <= x <= 3

Falsch. Es muß heißen
-4 <= x <= -3

Alle deine weiteren Überlegungen sind Folgefehler.

Answer 2

Es gibt einen kürzeren Weg.
Links steht durch die Betragszeichen ein positiver
Wert, auf der rechten Seite auch.

| term1 | > | term 2 |

Dies ist gleichbedeutend mit

( term 1 )^2 > ( term 2 )^2

Beispiel
| -4 | > | 2 |
(-4)^2 > ( 2)^2

Ich habe also zunächst quadriert, dann
fallen die äußeren Betragszeichen weg und
es bleibt nur noch ein Betrag übrig.

Gleichungen mit Beträgen und / oder Ungleichungen
können verwirrend sein.
Du bist den Standardweg gegangen.
Um dort die Übersichtlichkeit zu bewahren
empfiehlt es sich die Bereiche auf einem
Zahlenstrahl einzuzeichnen.
Ich führe das später einmal vor.

Comments

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen
- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

Aus Bereich 2 wurde x = -3.5 als Beispiel gewählt.

Es bleibt
(  ( x-1 ) * (-1) - 5 ) * (-1 ) >  ( x + 3 ) * (-1)
( -x + 1 - 5 ) * (-1 ) > -x - 3
x - 1 + 5 > -x - 3
2x  > -3 -4 = -7
x > -7/2
x > -3.5

Eingangsvoraussetzung
-4 < x < -3
und
x > -3.5

Schnittmenge
- 3.5 < x < -3
für Fall 2