Grenzwert von (ln(n+3) - ln(n))*n berechnen, bezogen auf e^q

Question

diese Aufgabe gab es in diesem Forum bereits, allerdings wurde sie falsch gestellt und wurde deswegen (glaube ich) auch nicht vollständig gelöst. Es geht darum, dass ich wegen dieser Aufgabe durch eine Prüfung gefallen bin und deswegen bald eine Nachprüfung habe wo ich diese natürlich vollstädnig vorzeigen muss.

(LN(n + 3) - LN(n))·n 

= LN((n + 3)/n) / (1/n)

L'Hospital

- 3/(n·(n + 3)) / (- 1/n²) 

= 3·n/(n + 3)

= 3/(1 + 3/n) 

Grenzwert

3

Die Aufgabe wurde von "Der_Mathecoach" gelöst.

So gesehen ist es ja eigentlich richtig, allerdings wurde ein Teil der Aufgabe übersprungen. In der Aufgabe steht zusätzlich noch:" verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabe b" . Aufgabe b war die Ermittlung des Grenzwertes von (1+q/n)^n.  Mit einem Matheprogramm kam dort e^q raus. In der Prüfung wurde mir ein Teil ( - 3/(n·(n + 3)) ) markiert, leider weiß ich nicht mehr was der Prüfer zu mir gesagt hat ( über 1 Monat her ) ich weiß nur, dass es irgendwas mit der eulerschen Zahl zu tun hat, die ja auch als Ergebnis in Aufgabe b vorkommt. Weiß da vielleicht jemand weiter? Irgenwie muss diese Zeile mit e^q ersetzt werden(?). (- 1/n²)  soll richtig sein, das kann also bleiben.

Und was genau wird bei dem Schritt:

= 3·n/(n + 3)

= 3/(1 + 3/n)

gemacht? Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

es ist

$$ (ln(n+3)-ln(n))n=[ln(\frac { n+3 }{ n })]n\text{ Bruch aufspalten}\\=n[ln(1+\frac { 3 }{ n })]=ln((1+\frac { 3 }{ n })^n)\\\to ln(e^3)=3 $$

Brüche aufspalten sowie Logarithmusgesetze solltest du kennen, ebenso ist der Grenzwert

 $$ \lim_{n\to\infty} (1+\frac { x }{ n })^n=e^x $$

elementar, den musst du kennen ;)

Comments

Ich habe die log gesetze gerade vor mir liegen und verstehe damit gerade nur die erste Zeile :( Kannst du mir die zweite Zeile, wo der Bruch aufgespalten wird und folgend vielleicht erklären? :/

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es ist

$$ \frac { a+b }{ c }=\frac { a }{ c }+\frac { b }{ c } $$

das ist das Distributivgesetz, falls du was dazu nachlesen möchtest.

Im obigen Fall ist a=n, b=3 und c=n , dann ergibt sich (n+3)/n=n/n + 3/n=1+3/n

danach wurde ein weiteres Logarithmusgesetz angewendet, angewendet und zwar:

$$ b*ln(a)=ln(a^b) $$

Der Vorfaktor wandert nach innen und wird zum Exponenten. Hier: b=n und a=1+3/n

danach habe ich bei dem Pfeil den Grenzwert gebildet,die Regel dazu steht schon oben, mit x=3.

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Habe alles verstanden, Danke :) Ich sollte mir die Regeln der Logarithmen sowie von Brüchen nochmal anschauen..:/ Habe ja noch ein bisschen Zeit, schreibe Mathe erst im April..