Aufgabe 1) Die Ecken eines Dreieckes werden mit Großbuchstaben, die ihnen jeweils gegenüberliegenden Seiten mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet. Daher liegt die Seite o gegenüber der Ecke O, die Seite p gegenüber der Ecke P und die Seite q gegenüber der Ecke Q.
Die Winkelbezeichnungen sind kaum zu erkennen. Der Winkel bei der Ecke O scheint mit delta bezeichnet zu sein, dann müsste der Winkel bei der Ecke Q wohl die Bezeichnung epsilon tragen. Mal sehen, ob's hinkommt.
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt der Satz des Pythagoras:
Die Summe der Quadrate der Längen der Katheten ist gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.
Vorliegend sind die Seiten o und q die Katheten (die beiden kürzeren Seiten), während die Seite p die Hypotenuse (längste Seite) des Dreiecks ist. Es gilt also nach dem Satz des Pythagoras:
p ² = o ² + q ²
1a) Gesucht ist die Länge der Kathete q. Also löst man den Satz des Pythagoras nach q auf und erhält:
q = Wurzel ( p ² - o ² ) = Wurzel ( ( 9,2 cm ) ² - ( 5,4 cm ) ² ) = Wurzel ( 55,48 cm ² ) = 7,4 cm (gerundet)
(Die Musterlösung behauptet 7,5 cm, da wurde wohl falsch gerundet.)
1b) Gegeben sind der Winkel delta = 18 ° sowie die Länge seiner Gegenkathete o = 2,5 m. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse p. Es gilt:
sin ( delta ) = Gegenkathete des Winkels delta / Hypotenuse
Vorliegend:
sin ( delta ) = o / p
<=> p = o / sin ( delta ) = 2,5 m / sin ( 18 ° ) = 8,1 m (gerundet)
1c) Gegeben sind die Hypotenuse p = 3,3 dm = 33 cm sowie die Kathete q = 10,4 cm. Gesucht ist der Winkel delta, dessen Ankathete ist q. Es gilt:
cos ( delta ) = Ankathete des Winkels delta / Hypotenuse
Daraus ermittelt man den Winkel delta, indem man beide Seiten der Gleichung mit der Umkehrfunktion des cos, dem arccos (auch cos -1 geschrieben) "behandelt":
<=> delta = arccos ( cos ( delta ) ) = arccos ( Ankathete des Winkels delta / Hypotenuse)
Vorliegend also:
delta = arccos ( 10,4 cm / 33 cm ) = 71,6 ° (gerundet)
1d) Gegeben sind die beiden Katheten o = 4,8 m und q = 7,9 m. Gesucht ist der Winkel epsilon. o ist Ankathete und q Gegenkathete des Winkels epsilon. Es gilt:
tan ( epsilon ) = Gegenkathete des Winkels epsilon / Ankathete des Winkels epsilon.
Daraus ermittelt man den Winkel epsilon, indem man beide Seiten der Gleichung mit der Umkehrfunktion des Tangens, dem arctan (auch tan -1 geschrieben) "behandelt:
epsilon = arctan ( Gegenkathete des Winkels epsilon / Ankathete des Winkels epsilon)
Vorliegend also:
epsilon = arctan ( 7,9 / 4,8 ) = 58,7 ° (gerundet)
Aufgabe 2)
2a) Mit den Überlegungen aus Aufgabe 1 gilt:
tan ( 39 ° ) = Höhe / 113 m
<=> Höhe = 113 m * tan ( 39 ° ) = 91,5 m (gerundet)
2b) Ich nehme an, dass der Absprungwinkel derjenige ist, der in der Zeichnung mit 39 ° bezeichnet ist. Dann gilt mit den Überlegungen aus Aufgabe 1) :
sin ( Absprungwinkel ) = 130 / 200
<=> Absprungwinkel = arcsin ( 130 / 200 ) = 40,5 °(gerundet)
Der maximal zulässige Absprungwinkel von 42 ° wird also nicht überschritten.
Aufgabe 3)
Die Entfernung E setzt sich zusammen aus den Strecken FH und HB. Es gilt also:
E = FH + HB
Es gilt:
FH / 54 = sin ( 4,43 ° )
<=> FH = 54 * sin ( 4,43 ° ) = 4,17 m (gerundet).
Für die Strecke HT gilt:
tan ( 4,43 ° ) = FH / HT
<=> HT = FH / tan ( 4,43 ° ) = 4,17 / tan ( 4,43 ° ) = 53,8 m (gerundet)
und für die Strecke HB gilt:
tan ( 13,7 ° ) = HT / HB
<=> HB = HT / tan ( 13,7 ° ) = 53,8 m / tan ( 13,7 ° ) = 220,7 m (gerundet)
Insgesamt gilt also:
E = FH + HB = 4,17 + 220,7 = 224,87 m
(Abweichungen zur Musterlösung beruhen darauf, dass dort recht grob gerundet wurde.)
