Polstelle... oder doch nicht?

Question

Liebe Matheinteressierten!

Ich habe eine Frage zur Polstelle und zur Stetigkeit.

Zwei Links existieren bereits, aber beide geben mir nicht die erwünschte Antwort

(1. https://www.mathelounge.de/104379/polstelle-oder-stetig-fortsetzbar-f-x-x-3-1-x-1-f-x-x-1-x-1-f-x-1-x-2-2x )
(2. https://www.mathelounge.de/86366/stetig-fortsetzbar-f-x-x-3-1-x-1 )

Meine Aufgaben sind - wie oft bei Schülern/Studenten - die gleichen.

Erste Aufgabe:  f₁(x) = (x^3-1)/(x-1)
Zweite Aufgabe: f₂(x) = (x+1)/(x-1)
Dritte Aufgabe: f₃(x) = 1/(x^2-2x+1)

Für alle gilt: D = ℝ \ { 1 }

Meine Lösungen sehen wie folgt aus: 

Für die erste Aufgabe habe ich den Nenner gleich Null gesetzt und x = 1 rausbekommen ( was ja auch logisch und vorher schon klar ist,einfach nur dank der formalen Ebene ). Diesen x-Wert habe ich in den Zähler eingesetzt und es kam 1^3-1=0 raus. Somit hätte die Funktion (aufgrund 0/0) an der Stelle x doch eine Polstelle? Diese Antwort wurde aber schon als falsch abgestempelt, aber ich weiß nicht warum. Sollte der Bruch 0/0 lauten, ist doch eine Polstelle existent. Auf eine Polynomdivision, wie in den beiden anderen Threads, würde ich gerne verzichten und einen anderen Weg als Erläuterung haben, wenn's geht :P

Bei der zweiten das gleiche Spiel, nur das am Ende 1+1=2 rauskommt und ich mit folgender Begründung die Stetige Fortsetzung herausgefunden habe: Wenn der Grad der Nullstelle im Nenner ≤ der Grad der Nullstelle im Zähler ist, dann hat die Funktion eine hebbare Definitonslücke. 
In dem Fall ist der Grad der Nst. bei beiden gleich 1.

Und bei der dritten Aufgabe fand ich via pq-Formel heraus, dass x_1,2 = 1 sind. Man kann es aber auch einfach begründen, dass der Zähler keine Nullstelle besitzt und die Funktion somit eine Polstelle hat.


Würde somit gerne wissen, in welchem Punkt meine Argumentationen falsch sind und wäre über eine Korrektur dankbar :) Außerdem hätte ich gerne gewusst, wie und wann man so ein Vorzeichenwechsel in dem Thema benutzen soll.

Schöne Grüße vom Mathe Lerner ;)

Answer 1

kennst du l´Hospital ?
( obere Zeile für x = 1 = 0 / 0 )

Der Graph zeigt keine Polstelle

Comments

Danke sehr für die Aufzeichnung!

Bin aber immer noch nicht ganz im Klaren, wann eine Polstelle dann doch existiert, bzw. wie man sich das formal merken kann.
Hab mir nochmal meine Unterlagen angeguckt und folgendes denke ich jetzt:

Polstelle existiert, wenn der Zähler ungleich 0 ist.

Ist der Zähler jedoch gleich 0, existiert eine hebbare Definitionslücke. 

Aber bei 0/0 einfach L'Hospital anwenden und wenn, wie hier, eine 3 rauskommt, existiert einfach keine Polstelle oder ist die 3 eine hebbare Definitionslücke?

Und Wie geht aber dann ein Vorzeichenwechsel bzw. was muss man da formal beachten? :) Wäre cool, wenn du mir da auch noch was zu sagen könntest!

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Wert / 0  für Wert ≠ 0 ist eine Polstelle da der Funktiionswert
+∞  oder -∞ ist

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bei 0 / 0 kann L´Hospital angewendet werden.

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Ansonsten : Polynomdivision durchführen um zu sehen
ob der Nenner im Zähler vorkommt
( x^3 -1 ) : ( x -1 ) = x^2 + x + 1

[ ( x - 1 ) *  ( x^2 + x + 1 ) ] / ( x -1 )
Für den Grenzwert lim x −> 1 ( also ist ( x - 1 )  noch nicht 0 )
darf gekürzt werden zu
x^2 + x + 1

lim x −> 1(-) [ x^2 + x + 1 ) ] = 1^2 + 1 + 1 = 3
lim x −> 1(+) [ x^2 + x + 1 ) ] = 1^2 + 1 + 1 = 3

x = 1 ist keine Polstelle da der links- bzw. rechtsseitige
Grenzwert nicht ∞ sind.

---

f₂(x) = (x+1)/(x-1)

Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

Alle deine drei Funktionen sind nicht stetig da
D = R \ { 1 }

---

Nach Durchsicht deines Fragetextes ist der Def-Bereich
D = R \ { 1 }

Also sind alle 3 Funktionen im Def-Bereich stetig.

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Die 3.Funktion hat eine Polstelle ohne Vorzeichen-
wechsel.

Bei 0 / 0 : L´Hospital

Bei Wert durch 0 :
Die GRENZWERTE ( lim x −> 1(-) bzw. lim x −> 1(+) )
in die Funktion einsetzen und herausfinden was als
Ergebnis herauskommt.
.

Answer 2

$$ f_1(x) = {x^3-1 \over x-1} = {(x^2+x+1)(x-1) \over x-1} = x^2+x+1 $$

Das bedeutet, dass \( x=1 \) erst einmal eine Definitionslücke ist, die Du aber weggkürzen kannst ("stetig behebbar").

Dein Argumentation ist falsch: Gerade weil Du 0/0 hast, hast Du keine Polstelle hier.

Grüße,

M.B.

Comments

Aj ich glaube, dass ich mich bei der Beantwortung der Lösungen einfach zwischen der Polstelle und der Stetigkeit ein bisschen vertan habe. Selbstverständlich ist 0/0 nicht korrekt als Polstelle. Keine Ahnung, was mich in den Glauben gebracht hat, man könnte etwas durch Null teilen und somit eine Polstelle herausfinden. Oh Gott oh Gott. 
Also wie goldundsilberliebichsehr schon gesagt hat, einfach bei 0/0 immer L'Hospital anwenden. Danke Dir!

Answer 3

Und bei der dritten Aufgabe fand ich via pq-Formel heraus, dass x_1,2 = 1 sind.

Mit der pq-Formel bist du aber ein wenig overdressed, mit der dritten binomischen Formel gilt

Dritte Aufgabe: \(f_3(x) = \dfrac{1}{x^2-2x+1} = \dfrac{1}{(x-1)^2}\)

und wir sehen, dass \(x=1\) eine positive Polstelle sein muss.

Man kann es aber auch einfach begründen, dass der Zähler keine Nullstelle besitzt und die Funktion somit eine Polstelle hat.

Das kann man so nicht sagen.

Comments

Brauch die pq-Formel vermutlich eh nicht zu benutzen, da ja schon im Definitionsbereich gesagt wurde, dass jede Zahl außer 1 für x geht.

Kann man denn folgendes, teilweise schon oben bei der Frage angesprochenes, sagen? :

Ist der Grad der Nullstelle im Nenner kleiner gleich der Grad der Nullstelle im Zähler, dann ist die Definitionslücke hebbar.
Und ist der Grad der Nullstelle im Nenner größer als der Grad der Nullstelle im Zähler, dann existiert eine Polstelle.

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Ist der Grad der Nullstelle im Nenner kleiner gleich der Grad der Nullstelle im Zähler, dann ist die Definitionslücke hebbar.
Und ist der Grad der Nullstelle im Nenner größer als der Grad der Nullstelle im Zähler, dann existiert eine Polstelle.

Ok, klingt ganz gut. Ich würde es so formulieren:

Ist die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner kleiner gleich der Vielfachheit der Nullstelle im Zähler, dann ist die Definitionslücke stetig hebbar.
Ist die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler, dann ist die Definitionslücke nicht stetig hebbar und es liegt eine Polstelle vor.

Die Vielfachheit einer Nullstelle einer Polynomfunktion entspricht dem Grad  der ausmultiplizierten Maximalpotenz des zugehörigen Linearfaktors, insofern ist aber schon klar, was du meinst.