Übung zu Extrempunkten und Wendepunkten von f(x) = x^4 /2 - x^3/2 - 3·x^2

Question

Aufgaben:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{1}{2} x^{\prime}-2 x^{2} \)

a) Berechne die Nuistelien der Funktion.

b) Berechne die Hoch- und Tefpunkte der Funktion (mit Nachweis).

c) Berechne die Wendepunkte der Funktion (mit Nachweis).

d) Zeichne den Graphen der Funktion mit Hilfe der berechneten Punkte und einer ergänzenden Wertetabelle in ein neues Koordinatenkreuz (1 Einheit = 1 cm)

e) Berechne die Steigungen der Tangenten an den Graphen von \( f(x) \) bei \( x_{1}=-1 \) und \( x_{2}=2 \) und zeichne die Tangenten an den Graphen der Funktion.

f) Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Tangenten.

Meine Lösung:

Answer 1

Hi,

der Anfang sieht schon mal sehr gut aus.

Bei den Extremstellen hast Du aber eine vergessen -> Du hattest zu Beginn x ausgeklammert.

Das hattest Du im weiteren aber nicht berücksichtigt, doch ist f(0)=0, also P(0|0) ein Maximum ;).

 

Außerdem bin ich nicht ganz sicher, obs nur an der Qualität liegt, mag aber sein, dass Du beim Tiefpunkt das Minus vergessen hast -> T(2,15|-8,15)

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Nun zum Wendepunkt, da ist etwas schiefgelaufen. Du bringst da einen Teil auf die andere Seite (die 6) teilst dann durch (-3) (warum auch immer) und ziehst dann die Wurzel von einer negativen Zahl... :P.

 

So sieht es richtig aus:

6x^2-3x-6=0   |:6

x^2-1/2*x-1=0  |pq-Formel

x₁=-0,78 und x₂=1,28

 

Das noch mit der dritten Ableitung überprüfen, dann die y-Werte bestimmen.

(Überprüfung spare ich mir aufzuschreiben, aber diese passt ;))

W₁(-0,78|-1,40) und W₂(1,28|-4,63)

 

Grüße

Comments

 Könntest du mir aber die Überprüfung nochmal erklären? Irgendwie versteh ich das noch nicht ganz :/ :S

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Die Überprüfung für den Wendepunkt?

Da gilt doch f''(x)=0 und f'''(x)≠0.

D.h. Du nimmst das Ergebnis, welches Du aus der zweiten Ableitung erhalten hast und setzt es in die dritte Ableitung ein. Kommt da ein Wert ungleich 0 raus, haben wir tatsächlich einen Wendepunkt vorliegen ;).

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Supiiii :D danke, danke & danke :D!

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Gerne :)       .

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Ich hätte nochmal eine Frage zur 2.a.) Nullstelle 3 u. 4 verstehe ich ja. Aber ich versteh nicht ganz warum die erste und die zweite Nullstelle 0 ist :S?!

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Berücksichtige, dass ein Produkt dann 0 ist, wenn es ein Faktor ist!
0*500=0 etc. So folgt auch x*(...)=0 -> x=0


Klar? ;)

Answer 2

Bevor ich deine Bilder versuche zu entziffern probiere ich das lieber unabhängig zu lösen. Dann kannst du die Lösungen vergleichen. Bitte deine nächsten Aufgaben als Text schreiben.

f(x) = x^4/2 - x^3/2 - 3·x^2
f'(x) = 2·x^3 - 3·x^2/2 - 6·x
f''(x) = 6·x^2 - 3·x - 6
f''(x) = 12·x - 3

Y-Achsenabschnitt

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

x^4/2 - x^3/2 - 3·x^2 = 0
x = 3 ∨ x = -2 ∨ x = 0

Extremstellen f'(x) = 0

2·x^3 - 3·x^2/2 - 6·x = 0
x = -1.340 ∨ x = 2.15 ∨ x = 0

f(-1.40) = -2.59 --> Tiefpunkt
f(2.15) = -8.15 --> Tiefpunkt
f(0) = 0 --> Hochpunkt

Wendestellen f''(x) = 0

6·x^2 - 3·x - 6 = 0
x = 1.28 ∨ x = -0.78

f(1.28) = -4.62
f(-0.78) = -1.40

Tangenten an den Graphen der Funktion

t1(x) = f'(-1)*(x - (-1)) + f(-1) = 5·x/2 + 1/2
t2(x) = f'(2)*(x - 2) + f(2) = - 2·x - 4

Skizze:

Comments

Super erklärt! Und danke, dass du die anderen Aufgaben auch gemacht hast. Dadurch konnt ich mir nochmal ein besseren Überblick verschaffen :)