Für V=W=R^2 gebe man Beispiele an

Question

Kann mir jemand behilflich sein, folgende Aufgabe zu lösen

Answer 1

Hier sind 5 Matrizen: \(\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Daraus können 25 Paare (\(f\), \(g\)) gebildet werden. Prüfe für jedes Paar zu welcher der Kategorien (i), (ii), (iii) oder (iv) es gehört. Sag bescheid wenn am Ende der Prüfung eine der Kategorien noch ohne Paar ist.

Comments

Wie muss ich das genau machen , kannst du mir für einen teil ein beispiel geben

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Es ist \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

Es ist rg\(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) = 2, rg\(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) = 1 und rg\(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) = 2. Prüfe ob das zu einer der Kategorien (i), (ii), (iii), (iv) passt. Verfahre so mit den übrigen 24 Möglichkeiten bis  du für  jede Kategorie mindestens ein  Beispiel hast.

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Ich hab noch eine Frage wie kommst du bei

rg(0110) = 2, rg(1000) = 1 und rg(1110) = 2 auf die 2, die 1 , und die 2

und woher soll ich wissen zu welcher gleichung das gehört?

kannst du mir das vielleicht erklären?

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> wie kommst du bei rg(0110) = 2, rg(1000) = 1 und rg(1110) = 2 auf die 2, die 1 , und die 2

Ich habe mir die Definition von Rang durchgelesen und angewendet.

> und woher soll ich wissen zu welcher gleichung das gehört?

Setze die 2, 1 und 2 an den entsprechenden Stellen der "Gleichung" ein und prüfe  ob ein wahre Aussage  entsteht.

Beispiel. (i) Es ist \(\text{rg}\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2\)

Außerdem ist \(\min\left(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \min(2, 1) = 1\)

Also ist \(\text{rg}\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) < \min\left(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \) falsch.

(ii) Es ist \(\max\left(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \max(2, 1) = 2\)

Also ist auch \(\text{rg}\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) > \max\left(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \) falsch.

(iii) Es ist \(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).

Also ist auch \(\text{rg}\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) falsch.

(iv) Es ist \(\text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 2 + 1 = 3 \neq 2\).

Also ist auch \(\text{rg}\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \text{rg}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \text{rg}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) falsch.