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Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei T (1/-1) und besitzt im Punkt (2/1) eine Tangente mit der Gleichung y = 4,5 x - 8.

Bestimme den zugehörigen Funktionsterm der Funktion.

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Ansatz f(x)=ax3+bx2+cx+d Ableitung f '(x)=3ax2+2bx+c. Erste Gleichung: einsetzen des Punktes T in den Ansatz. Zweite Gleichung: einsetzen des Punktes (2/1) in den Ansatz. Dritte Gleichung: einsetzen von (1/0) in die Ableitung. Vierte Gleichung: einsetzen von (2/4.5) in die Ableitung. Lösen des Systems von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten und Einsetzen der Resultate für a, b, c und d in den Ansatz.

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Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei T \((1|-1)\) und besitzt im Punkt P\((\green{2}|1) \)eine Tangente mit der Gleichung \(y = \red{4,5} x - 8\).

Ich verschiebe den Tiefpunkt T \((1|-1)\) um 1 Einheit nach oben T´ \((1|0)\) Das Extremum liegt auf der x-Achse und hat dort somit eine doppelte Nullstelle.
Weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 3. Grades.
\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

Punkt P\((\green{2}|1) \)eine Tangente mit der Gleichung \(y = \red{4,5} x - 8\).

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2 \cdot 1]\)
\(f'(\green{2})=a[(2)(2-N)+1]=a[5-2N]= \red{4,5}\)

\(a=\frac{4,5}{5-2N}\)

\(f(x)=\frac{4,5}{5-2N}[(x-1)^2(x-N)]\)

P\((2|1) \)→ P´\((2|2) \)

\(f(2)=\frac{4,5}{5-2N}[(2-1)^2(2-N)]=\frac{4,5}{5-2N}[(2-N)]=2\)

\(N=-2\)

\(a=0,5\)

\(f(x)=0,5(x-1)^2(x+2)\)

Nun noch um 1 Einheit nach unten

\(p(x)=0,5(x-1)^2(x+2)-1\)

Unbenannt.JPG

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Nutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Ansatz

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

Eigenschaften

f(1) = -1
f'(-1) = 0
f(2) = 1
f'(2) = 4.5

Gleichungssystem

a + b + c + d = -1
3·a - 2·b + c = 0
8·a + 4·b + 2·c + d = 1
12·a + 4·b + c = 4.5

Errechnete Funktion

f(x) = 0,5·x^3 - 1,5·x

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War diese Antwort jetzt für Moliets oder für den Fragesteller, der hier letztmalig im Jahr 2017 aktiv war?

Danke für den Link! Deine Rechnung und auch die oben verstehe ich, die von Moliets finde ich irgendwie strange

War diese Antwort jetzt für Moliets oder für den Fragesteller, der hier letztmalig im Jahr 2017 aktiv war?

Weder noch. Natürlich ist diese Antwort für alle die sich diese Seite warum auch immer ansehen und sich und diese Aufgabe vielleicht selber aus Übung Lösen wollen, damit diese ein paar Wegmarken haben um zu verhindern, dass sie auf dem Weg nicht zufällig falsch abbiegen.

Und vielleicht auch damit einige nicht denken man müsse es wie Moliets lösen.

Im Vergleich der verschiedenen Lösungswege hier ein Beispiel:

https://www.mathelounge.de/800694/bestimme-die-gleichung-einer-parabel-4

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