Limes berechnen ermitteln

Question

hhallo ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Könnte jemand mir ein Lösungsweg aufschreiben, sodass ich es nachrechnen und nachvollziehen kann?

Answer 1

[ 2 + 2·i + ((-1 + 12·i) / n)² ]  / [ (3 - i) · arctan((2·n¹⁸ - 23) / (2·n¹⁷·(n + 1))) ]

Beim Argument von arctan(x) im Nenner n ausklammern:

=  [ 2 + 2·i + ((-1 + 12·i) / n)² ]  / [ (3 - i) · arctan((2·n¹⁸ - 23) / (2·n¹⁸·(1 + 1/n))) ]

Im arctan durch n¹⁸ kürzen:

=  [ 2 + 2·i + ((-1 + 12·i) / n)² ]  / [ (3 - i) · arctan((2 - 23/n¹⁸) / (2·(1 + 1/n))) ]

                  [ Zähler und Nenner im arctan streben gegen 2 für n→∞ ]

→_n→∞  [ 2 + 2·i + ((-1 + 12·i)/n)² ] / [ (3 - i) · arctan(1) ]

=  [ 2 + 2·i ] / [ (3 - i) · π/4 ]  

=  4/π · [ 2 + 2·i ] / [ 3 - i ]

=  4/π · [ (2 + 2·i) · (3 + i) ] / [ (3 - i) · (3+i) ]

= 4/π · (4 + 8i) / (9 - i²)  =  4/π · (4 + 8i) / 10  =  4/π · (2/5 + 4·i/5)  =  4/(5π) · (2 + 4i)

Gruß Wolfgang