gebrochenrationale Funktionen

Question

habe leider Probleme mit diesen drei Aufgaben. Die Mathescrite helfen mir nicht weiter, daher versuche ich es mal hier.
Es wäre sehr nett wenn mir hier jemanden helfen könnte und dazu vielleicht eine "kleine" Erklärung was gemacht wird, damit ich es besser nachvollziehen kann.

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an mit

a) Nullstelle 1 und Polstelle 3 ohne VZW.

b) Nullstellen 2 und -2, Polstelle 1 ohne VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle -1.

c) Nullstelle 1, Polstelle 2 mit VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle 3.

und einen schönen Abend noch.

Answer 1

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an mit

a) Nullstelle 1 und Polstelle 3 ohne VZW.   

(x-1) / (x-3)²   

b) Nullstellen 2 und -2, Polstelle 1 ohne VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle -1.

(x+2)(x-2)(x+1)/ (  (x+1)(x-1)²  )

c) Nullstelle 1, Polstelle 2 mit VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle 3.


(x-1)(x-3) /  ((x-3)*(x-2) )

Answer 2

a) Nullstelle 1 und Polstelle 3 ohne VZW. 

f(x) = (x-1)/ (x-3)^2 

b) Nullstellen 2 und -2, Polstelle 1 ohne VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle -1. 

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1)  * ((x+1)/(x+1)) = ((x^2 -4)(x+1))/(x^2 - 1) 

c) Nullstelle 1, Polstelle 2 mit VZW, hebbare Definitionslücke an der Stelle 3. 

f(x) = (x-1)/(x-2) * ((x-3)/(x-3)) = ((x-1)(x-3))/((x-2)(x-3)) = (x^2 - 4x + 3)/(x^2 - 5x + 6) 

Erlärung: Graphen von Potenzfunktionen

Wenn du das Bild von https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion in der Umgebung vom Koordinatenusprung ganz genau verstehst, kannst du deine Erkenntnisse zum Bau dieser Funktionsgleichungen nutzen. 

Answer 3

a) Nullstelle 1 und Polstelle 3 ohne VZW.

1 / ( x - 3 ) hat eine Polstelle bei x = 3
allerdings mit Vorzeichenwechsel

1 / ( x -3 )^2  hat eine Polstelle bei x = 3
ohne Vorzeichenwechsel

f ( 1 ) = 1 / ( 1 -3 )^2 = 1 / 4
( 1 | 1/4 )

f ( x ) = 1 / ( x -3 )^2  - 1/4
wäre eine Funktion