Grenzwert berechnen l'Hospital b) lim_(x->a) (x^{a} - a^{x})/(a^{x} - a^{a})

Question

Könnte jemand mir vorrechnen, wie ich den Grenzwert in b und c) berechne?

Answer 1

a) 

lim_x→0   \(\frac{cos(x)+3x-1}{2x}\)   →  " 0/0 "  (Grenzwert unklar)

            Hospital anwenden (Zähler und Nenner ableiten):

= lim_x→0  \(\frac{-sin(x)+3}{2}\)  = 3/2 

Nachtrag (nach Kommentar von jc):

 b)

...  = lim_x→a   (x^a - e^ln(a)·x) / (e^ln(a)·x - a^a)   ...  wie oben ...  = 1/LN(a) - 1

c)

analog zu a)  mit   "→ ∞/∞" statt   "→ 0/0" 

Kontrollergebnis: 0

Gruß Wolfgang

Comments

Die Aufgabe hat der Fragesteller schon selber gelöst aber was solls :D

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Hallo jc2144,

Die Aufgabe a.) hat der Fragesteller schon selber gelöst

für den Logiker :
woher schließt du das der Fragesteller die Aufgabe
a.) bereits gelöst hat ?
Darüber steht uns keine Ausage zur Verfügung.
Er kann sie auch nicht gelöst haben. Grins.

Nix für ungut.

mfg Georg

Answer 2

bei c.) schon einmal

[ 2 * ln ( x ) ] ´ / [ x^2 ] ´

( 2 / x ) / ( 2 * x )
2 / ( 2 * x ^2 )
1 / x^2

lim x −> ∞ [ 1 / x^2 ] = 1 / ∞ = 0

b .)
( x^a - a^x ) ´ / ( a^x - a^a ) ´

( a * x^{a-1} - ln(a) * a^x )  / ( ln (a ) * a^x )

( a * x^{a-1} ) /  ( ln (a ) * a^x ) - ln(a) * a^x ) / ( ln (a ) * a^x )
( a * x^{a-1} ) /  ( ln (a ) * a^x ) - 1

lim x −> a  [ ( a * x^{a-1} ) /  ( ln (a ) * a^x ) ]
lim x −> a  [ ( a * a^{a-1} ) /  ( ln (a ) * a^a ) ]
lim x −> a  [ a^{a}  /  ( ln (a ) * a^a ) ]
lim x −> a  [ 1  /  ( ln (a )  ]

Insgesamt
1  /  ( ln (a )  - 1

mfg Georg

Answer 3

Aufgabe b)