Schnittpunkte zweier e-Funktionen

Question

ich habe mal wieder eine Frage.

Folgende Funktionen sind gegeben:

$$f(x)={ x }^{ 2 }*e^{ x }\quad g(x)={ e }^{ -x }$$

Ich möchte gerne die Schnittpunkte errechnen, also muss ich die Funktionen gleichsetzen:

$${ x }^{ 2 }*e^{ x }\quad ={ \quad e }^{ -x }$$

Und jetzt?

Vielen Dank schon mal

Euer Zeurex

Answer 1

x² * e^x = e^-x  | * e^x
x² * ( e^x )² = 1
x² * ( e^x )² -1 = 0

läßt sich mit einem Näherungsverfahren z.B. Newton
bestimmen. Ungefähr x = 0.57

mfg Georg

Answer 2

Beide Seiten mit e^x multiplizieren x²·e^2x=1 dann x·e^x=±1. Das sind zwei Gleichungen, deren Lösung sich nur im Näherungsverfahren finden lassen.

Answer 3

Auch wenn "beste Antwort" schon vergeben, hier die exakte Lösung:

x²*(e^x)²=1 | Wurzel auf beiden Seiten

x*e^x=1 | Umkehrfunktion

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

x = LambertW(n,1)

Gute Rechner wie

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

können das auch für komplexe Ergebnisse:

 n | LambertW(n,1)

-2 | -2.40158510486800288417413977... - 10.77629951611507089849710... i

-1 | -1.53391331979357450791974108 - 4.3751851530618983854709 i

 0 | 0.5671432904097838729999686...

 1 | -1.53391331979357450791974108 + 4.37518515306189838547.. i

 2 | -2.40158510486800288417413977 + 10.776299516115070898497.. i

Probe: x²*e^x-exp(-x),x=0.5671432904097838729999686...

usw.

ergibt für alle 5 x-Werte (1 reelles und 4 komplexe)

immer das richtige Ergebnis 0

für LambertW(0,1) kann man sich sogar 20000 Nachkommastellen dieser irrationalen Zahl ansehen.

Für alle, die sagen, dass das nur per Näherungsverfahren lösbar ist:

LambertW(...) ist nun anerkannte

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion