Nullstellen einer trigonometrischen Funktion: f(x) = 2 * sin(4x - π/6) + 1

Question

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ich möchte gerne die Nullstellen von $$f(x)=2sin(4x-\frac { \pi }{ 6 } )+1$$ berechnen.

$$=>\quad 2sin(4x-\frac { \pi }{ 6 } )+1\quad =\quad 0$$

Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter.



Gruß,

Zeurex

Comments

EDIT: Du suchst hier nicht die Nullstellen eines Sinus.

Du sollst herausfinden für welche Winkel den  Sinuswert   "minus 1/2"  haben.

Studiere mal:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2·sin(4x-π/6)+1f₂(x) = sin(4x-π/6)f₃(x) = -1/2

 

Die Schnittpunkte von rot und grün liegen jeweils exakt unterhalb der Nullstellen von bau. 

Answer 1

Hallo Zeurex,

2 * sin(4x - π/6) + 1 = 0            | - 1  | : 2

sin(4x - π/6) = - 1/2

Die beiden "Grundlösungen"  für sin(z) = -1/2  in [0;2π]  sind   z = - π/6  und z = π - (-π/6) .  Diese wiederholen sich mit der Periode 2π:  

4x - π/6 = -π/6 + k*2π     oder    4x - π/6  =  π - (-π/6) + k * 2π      mit k∈ℤ        | + π/6

 4x = k * 2π    oder   4x = 4/3 π + k * 2π       mit k∈ℤ                    | : 4

x =  k*π/2      oder   x  =  π/3 + k*π/2    mit k∈ℤ        für die Definitionsmenge ℝ

Je nach vorgegebener Definitionsmenge kannst du dann ggf. mit passenden k∈ℤ die Lösungen bestimmen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wir haben dass $$2\sin \left(4x-\frac{\pi}{6}\right)+1=0 \Rightarrow 2\sin \left(4x-\frac{\pi}{6}\right)=-1 \Rightarrow \sin \left(4x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$$

Es gilt dass $$\sin (y)=-\frac{1}{2} \iff y=2k\pi-\frac{\pi}{6} \ \text{ oder } \ y=2k\pi+\frac{7\pi}{6} \ \text{ wobei } \ k\in \mathbb{Z}$$

Davon haben wir dass $$4x-\frac{\pi}{6}=2k\pi-\frac{\pi}{6} \ \text{ oder } \ 4x-\frac{\pi}{6}=2k\pi+\frac{7\pi}{6} \\ \iff 4x=2k\pi \ \text{ oder } \ 4x=2k\pi+\frac{8\pi}{6} \\ \iff x=\frac{k\pi}{2} \ \text{ oder } \ x=\frac{1}{2}k\pi+\frac{2\pi}{6} \\ \iff x=\frac{k\pi}{2} \ \text{ oder } \ x=\frac{1}{2}k\pi+\frac{\pi}{3} \ \text{ mit } \ k\in \mathbb{Z}$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort! :)

Wieso $$2k\pi$$ ?

Der Sinus wird doch bei jedem Pi = 0?

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Das $$-\frac{\pi}{6}$$ ist in der Nächste Zeile.

Es ist also sin(y)=-1/2 wenn $$y=2k\pi-\frac{\pi}{6}$$ oder $$y=2k\pi+\frac{7\pi}{6}$$

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Oder meintest du etwas anderes?