Die Anforderung dass \(\vec{v} \perp \vec{w}_1\) sein soll, ist in 2D leicht zu erfüllen. Vertausche die Koordinate und negiere eine der beiden. Macht
$$\vec{w}_1=\begin{pmatrix} -40 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Das könnte natürlich auch jedes Vielfache von \(\vec{w}_1\) sein.
\(\vec{w}_2\) kann über eine Rotationsmatrix bestimmt werden. Mit der Matrix
$$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$
drehst Du einen Vektor um \(\alpha\). Weiter gilt, dass \(\sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}\) und \(\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\). Also ist
$$\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} -20 \\ 1 + 20\sqrt{3} \end{pmatrix}$$
zu G3 a) Forme das ganze etwas um. Aus obigem Term folgt:
$$\vec{RQ}= \begin{pmatrix}c \\d\end{pmatrix} - \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} =\vec{OQ} - \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{\vec{OP}^2}\vec{OP}\\=\vec{OQ} - \frac{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OQ}| \cdot \cos \alpha}{|\vec{OP}|^2}\vec{OP}$$
\(\alpha\) sei der Winkel \(ROQ\) und \(\vec{e}_1\) sei der Einheitsvektor von \(\vec{OP}\). Dann geht es weiter
$$=\vec{OQ} - |\vec{OQ}| \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\vec{OP}}{|\vec{OP}|} = \vec{OQ} - |\vec{OQ}| \cdot \cos \alpha \cdot\vec{e}_1$$ Und die Strecke \(\vec{|OQ}| \cdot \cos \alpha\) ist genau gleich \(OR\). Dann ist jetzt
$$=\vec{OQ}- |OR| \cdot \vec{e}_1=\vec{OQ}- \vec{OR}=\vec{RQ}$$
Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
