Winkel im Würfel ( Winkel zwischen Geraden)

Question

Welcher Winkel wird jeweils im Würfel bestimmt ?

a) cos(alpha) = 1*1+1*1+1*0 /Wurzel von 3 * Wurzel von 2

b) cos(beta)  =  1*1+ 0*0+0*1 / 1* Wurzel von 2

c) cos( gamma) = 1*1+1*1+1*(-1) / Wurzel von 3 * Wurzel von 3

Brauche Hilfe !!!!

Answer 1

Tipp: Zeichne die entsprechenden Vektoren in einem Würfel mit Seitenlänge 1 ein. 

Soll das eine Winkelberechnung mittels Skalarprodukt sein? Dann setze Klammern: 

a) cos(alpha) = (1*1+1*1+1*0) / (Wurzel von 3 * Wurzel von 2) = 2/(√3 * √2) = √(2)/√(3) = √(2/3) 

alpha = arccos (√(2/3)) ≈ 35.26° 

usw. 

Kannst du hier eingeben, wenn du keinen Taschenrechner hast: https://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos+(%E2%88%9A(2%2F3)) 

Welcher Winkel wird jeweils im Würfel bestimmt ? 

a) cos(alpha) = (1*1+1*1+1*0) /(Wurzel von 3 * Wurzel von 2)

Winkel zwischen einer Seitenfläche ( Grundseite) und der Raumdiagonalen.

Bild dazu hier: https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C1%7C1)%0Avektor(0%7C0%7C0%201%7C1%7C0)%0Aw%C3%BCrfel(0%7C0%7C0%201)

b) cos(beta)  =  (1*1+ 0*0+0*1) / (1* Wurzel von 2)

beta = arccos(1/√2) = 45°

Winkel zwischen einer Kante und der Diagonalen einer Seitenfläche des Würfels.

Bild dazu vgl. https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C0%7C1)%0Avektor(0%7C0%7C0%201%7C0%7C0)%0Aw%C3%BCrfel(0%7C0%7C0%201)

Der Punkt mitten im Würfel hat nichts mit b) zu tun. Er soll den Würfel wohl plastischer aussehen lassen.

c) cos( gamma) = (1*1+1*1+1*(-1)) / (Wurzel von 3 * Wurzel von 3)

gamma = arccos(1/3) = 70.53°

Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen des Würfels.

Hier ein Bild für c)

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C1%7C1)%0Avektor(0%7C0%7C1%201%7C1%7C-1)%0Aw%C3%BCrfel(0%7C0%7C0%201)

Comments

Danke vielmals für deine Antwort !

Könntest du mir aber vielleicht erklären wie du darauf gekommen bist ?

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Ich habe oben noch Skizzen ergänzt. Die solltest du eigentlich schon so vor dir haben. Entscheide selbst, welcher Vektor welcher ist.

Answer 2

Die Lösung setzt etwas voraus, das nicht explizit in der Aufgabenstellung genannt wird: Es handelt sich vermutlich um einen Einheitswürfel mit achsenparallelen Kanten und einem Eckpunkt in (0;0;0).

Comments

Es ist möglich die wichtigsten Winkel in einem Würfel am Einheitswürfel zu berechnen, da alle Würfel zueinander ähnlich sind. Erinnere dich an die Strahlensätze.

Du kannst natürlich auch mit a≠0 alles durchrechnen und im richtigen Moment dann mit a kürzen.

Dann kommst du auch auf die angegebenen Rechnungen (natürlich mit richtiger Klammerung) .

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Du hast natürlich recht. Für den Schüler wäre es aber einfacher gewesen, wenn man ihm den Hinweis gegeben hätte: "Es ist möglich die wichtigsten Winkel in einem Würfel am Einheitswürfel zu berechnen."