a)
x = (5|0|4) , u = (2 0 1), v = (1 1 1 ), w = (0 1 -1)
Ansatz bei a)1) die Linearkombination lautet:
(5 0 4) = a(2 0 1) + b(1 1 1) + c(0 1 -1)
ergibt die Gleichungen:
5 = 2a + b (I)
0 = b + c (II)
4 = a + b - c (III)
Aus diesen Gleichungen bestimmt du a , b und c .
5 = 2a + b (I)
0 = b + c (II)
4 = a + b - c (III)
----------------------------(II) + (III)
4 = a + 2b (IV) | * 2
8 = 2a + 4b (IV)'
5 = 2a + b (I)
--------------------------(IV)' - (I)
3 = 3b
1 = b
Wegen 5 = 2a + b (I)
5 = 2a + 1
4 = 2a
2 = a
Wegen 0 = b + c (II)
0 = 1 + c
-1 = c
Resultat: Darstellung von x als Linearkombination (5 0 4) = a(2 0 1) + b(1 1 1) + c(0 1 -1) lautet:
(5 0 4) = 2* (2 0 1) + (1 1 1) - (0 1 -1)
Danach gibt es bei a) noch zwei weitere Vektoren x, die du als Linearkombination von u, v und w darstellen sollst.
Bei b) exakt der gleiche Rechenweg. Du solltest aber dann auf einen Widerspruch stossen, da das x bei b nicht als Linearkombination von u , v und w bei b) darstellbar ist. Das siehst du schon daran, dass bei u, v und w immer die 2. Komponente mit der dritten übereinstimmt. Egal wie du diese drei Vektoren addierst, wirst du keinen Vektor bekommen, bei dem die 2. und die 3. Komponente verschieden sind.
