Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasis

Question

Hallo :) Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Eine Matrix B E K^2x2 über dem Körper K definiere die Abbildung f: K^2x2 -> K^2x2, A -> BA.

1. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasis von K^2x2.

2. Zeigen Sie: det f = (det B)².

Grundsätzlich weiß ich wie man das löst, aber ich weiß nicht welche Matrizen ich überhaupt verwenden soll, kann mir da jemand helfen?

Außerdem verwirrt mich, dass die Abbildung durch die Matrix B definiert ist, was ich so auch nicht kenne.

Answer 1

Sei B =

r    s
t    u  

Dann ist für die Matrizen der Standardbasis, das ist ja wohl

E1     E2     E3      E4=

1 0    0 0    0 1     0 0 
00     1 0    0 0     0 1


jeweils das Bild jedes Basis"vektor"s, das sind ja hier die Matrizen,

zu bestimmen

f ( E1) =   B*E1  =    r   0     =  r*E1  +  t*E2
                                t   0Damit sieht die Abbildungsmatrix schon mal so aus


r     ?      ?     ?t     ?      ?     ?0    ?      ?     ?0    ?      ?     ?

und die ? bestimmst du durch die Bilder der anderen 3 Basisvektoren.Ich bekomme  dann:

r    s    0     0
t    u    0     0
0   0    r     s
0   0    t     u     

Also ist die Det der Abbildungsmatrix  dann det(B)² .