Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grades aufstellen

Question

Hallo :)

Ich brauche bitte ganz schnell Hilfe zu dieser Aufgabe:

Ich muss die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln. Der lokale Maximumpunkt H(1;6) und der lokale Minimumpunkt T(3;2) ist gegeben.

ich weiß natürlich, dass ich die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d benötige, allerdings weiß ich nicht wie ich die aufgäbe lösen kann.

Answer 1

f(1)= 6

f '(1)=0

f(3) = 2

f '(3)= 0

Damit kannst du 4 Gleichungen aufstellen und die Variablen bestimmen.

Answer 2

Ich muss die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln. Der lokale Maximumpunkt H(1;6) und der lokale Minimumpunkt T(3;2) ist gegeben.

ich weiß natürlich, dass ich die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d benötige,

also  f ' ( x) = 3ax² + 2bx + c 

und f( 1) = 6      f(3) = 2

f ' (1)  = 0    und  f ' (3) = 0

gibt

       a  +   b   +  c   +   d   =  6
27a   + 9b   +   3c   +   d  =  2
  3a    +  2b     + c            = 0
  27a   + 6b     + c             = 0


gibt  

a=1   b=-6   c=9   d=2 

also  f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2

Etwa so:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x³-6x²+9x+2Zoom: x(-1…5) y(-1…10)

 

Answer 3

f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

f'(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c

f(1) = 6 --> a + b + c + d = 6

f'(1) = 0 --> 3·a + 2·b + c = 0

f(3) = 2 --> 27·a + 9·b + 3·c + d = 2

f'(3) = 0 --> 27·a + 6·b + c = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 9 ∧ d = 2

Die Funktion lautet damit

f(x) = x³ - 6·x² + 9·x + 2

Answer 4

3.Grad Der lokale Maximumpunkt H$(1|6)$ und der lokale Minimumpunkt T$(3|2)$ sind gegeben.

T$(3|2)$→ T´$(3|0)$doppelte Nullstelle

$f(x)=a[(x-3)^2(x-N)]$

$f'(x)=a[2(x-3)(x-N)+(x-3)^2]$

H$(1|...)$

$f'(1)=a[2\cdot(1-3)(1-N)+(1-3)^2]=a[(-4)\cdot(1-N)+4]=0$

$N=0$:

$f(x)=a[(x-3)^2x]$

H$(1|6)$→ H´$(1|4)$

$f(x)=a[(1-3)^2]=4a=4$

$a=1$

$f(x)=(x-3)^2x$

$p(x)=(x-3)^2x+2$