Frage zu Vektorräumen

Question

In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass ℝ² ein ℝ Vektorraum, aber auch ein ℚ Vektorraum ist. 

Wenn es ein ℚ Vektorraum ist, müsste dann ℝ² nicht auf die Rationalen Zahlen beschränkt sein?  Zum Bsp. ist ja (√2,1)∈ℝ² aber √2 ist ja nicht aus ℚ...

Answer 1

Hallo Farina, 

in jedem Vektorraum gibt es einen "Skalarenkörper", aus dem die Elemente stammen, mit dem man die Vektoren skalar multiplizieren kann.

Diese können bei ℝ² aus ℝ sein:  √2 * [1,√3]  = [√2 , √6]  

Sie können bei ℝ² aber auch per Definition auf ℚ beschränkt werden:  

                 2 *  [1,√3] =  [2, 2√3]

Die Koordinaten der Vektoren dürfen dann immer noch aus ℝ sein.  

Gruß Wolfgang

Answer 2

In einem K-Vektorraum gibt es zwei "Rechenarten":

• Eine Addition
• Eine Multiplikation mit Elementen aus dem Körper K.

Beide diese Rechenarten müssen zusätzliche Regeln erfüllen, die du in den Vektorraumaxiomen findest.

> Wenn es ein ℚ Vektorraum ist, müsste dann ℝ² nicht auf die Rationalen Zahlen beschränkt sein?

Können Element aus ℝ² mit rationalen Zahlen multipliziert werden?

Falls ja: erfüllt diese Multiplikation die zusätzlichen Regeln, die in den Vektorraumaxiomen gefordert sind?

Wenn du beide Fragen mit "Ja" beantwortest, dann ist ℝ² ein ℚ-Vektorraum.

Wenn du eine der Fragen mit "Nein" beantwortest, dann gibt an welche das ist und begründe.