Rekursiv definierte Folge. x_(42) =? Brauch Hilfe bei der Aufgabe

Question

Hi,

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand kurz zeigt und erklärt wie man solche Aufgaben löst.

LG

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Ja - das ist ein ganz gemeines Ding. Zunächst gibt es drei Punkte, gegen die die Folge laufen könnte. Das sind \(x=3\), \(x=5\) und \(x=100\). Diese drei Werte erhält man, wenn man \(x_{n-1}\), \(x_n\) und \(x_{n+1}\) gleich setzt und die Gleichung nach der einen Variablen auflöst.

Wäre die Folge nur von einem Vorgänger abhängig, könnte man dann ein Stabilitätskriterium angeben. Siehe dazu Fixpunktiteration. Wie das mit zwei Variablen geht, weiß ich nicht.

Ich vermute, dass die Folge mit genau diesen Startwerten gegen 5 läuft. Interessant ist, dass bei der geringsten Abweichung von den angegebenen Startwerten die Folge gegen 100 geht. Wobei die Abweichung kleiner ist, als die Ungenauigkeit eines Taschenrechners oder Computers mit begrenzter Rechengenauigkeit - der liefert Dir den Endwert \(a_{42}\approx100\).

Gruß Werner

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Das Problem ist wohl auch das a42 exakt angegeben werden soll und nicht ungefähr. Zumindest wenn ich die Aufgabe richtig deute.

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Interessante Aufgabe.

$$ { x }_{0 }=\frac { 4 }{ 1 }\\{ x }_{ 1 }=\frac { 17 }{ 4 }\\{ x }_{ 2 }=\frac { 3596 }{ 17 }\\{ x }_{ 3 }=\frac { 396223 }{ 3596 }\\{ x }_{ 4 }=\frac { 45697324 }{ 396223 }\\ $$

Answer 1

Ja, deshalb habe ich diese Aufgabe mit euch geteilt, es ist sehr interessant. Eine Frage habe ich noch - es ist mir klar wie du (Werner-Salomon) x=3 und x=5 bekommen hast (4-1 , 4+1), wie enthälst du aber x=100? ^^

LG

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Mit einem CAS Programm kommt man auf obiges Ergebnis. Ich denke das hat was mit Kettenbrüchen zutun.

Die Lösungen kommen ja von einem Polynom dritter Ordnung. Hast Du zwei Lösungen, kannst Du die dritte mit Polynomdivision ermittteln.

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Du schriebst: ".. wie erhältst du aber x=100?"

Also, wenn man einen Fixpunkt erreicht fallen alle drei Werte irgendwann zusammen. Damit ist

$$x=108-\frac{815 - \frac{1500}{x}}{x}$$

$$\Rightarrow x^3=108x^2- 815x + 1500$$

bzw.

$$x^3-108x^2+ 815x - 1500=0$$

mit etwas probieren kommt man jetzt auf \(x_1=5\). Polynomdivision durch \(x-5\) ergibt

$$\left(x^2-103x+ 300\right) (x-5)=0$$

,, und der linke Faktor ist ein quadratischer Term mit den Nullstellen \(x_2=3\) und \(x_3=100\).

BTW: Woher stammt denn die Aufgabe?

Gruß Werner

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Man kann mittels Induktion nachweisen, das die Folge beschränkt ist, und zwar gilt

$$  3 < x_n < 5  $$ und ebenso kann man nachweisen, dass die Folge monoton wächst. Damit ist sie konvergent. Und aus dem vorher gesagten folgt, dass gilt $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 5  $$ gelten muss.

Was natürlich noch nicht die Frage nach dem exakten Wert von \( x_{42} \) beantwortet, aber zumindestens die Konvergenz klärt.