Harmonische Reihe und konstante

Question

Ich habe eine sehr allgemeine Frage,

wenn ich zum Beispiel die Reihe

∑1/n*c        habe mit c>=2 ( c ist also eine Konstante)

kann ich dann trotzdem sagen dass die Reihe divergiert? Oder muss ich da anders vorgehen?

Answer 1

die allgeimene harmonische Reihe divergiert für  \( c \leq 1 \) und konvergiert für \( c > 1 \). Beispielsweise ist  \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n^2 }}= \frac { \pi^2 }{ 6 } \).

Falls du \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ c*n}}\) meinst, so gilt \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ c*n}}\)= \(\frac { 1 }{ c} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n}}\) und die Reihe divergiert.

Comments

Und wenn ich zum Beispiel die Reihe

∑(1/n)*2 habe?

für n gegen unendlich

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Dann kannst du die 2 rausziehen: \( \sum_{n=1}^{\infty}{2*\frac { 1 }{ n^2 }} =2*\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n^2 }}\) und das ganze divergiert.

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Ich habe mich vertippt und meine oben natürlich: \( \sum_{n=1}^{\infty}2*{\frac { 1 }{ n }} =2*\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n }}  \), die Reihe mit n² im Nenner würde konvergieren.