Konvexe Hülle einer Menge als epigraph von f darstellen.

Question

Hallo die Aufgabe lautet so :

Hallo die Aufgabe ist im Bild angehängt .
Ich kenne die Definiton der konvexe Hülle bzw. habe erkannt das die Menge M die funktion f(x)=x2 in parameterdarstellung angibt . aber wie kann ich die Darstellung der Konvexen Hülle nun so nachweisen? Danke !

Answer 1

Zeige:

1. {(x,y)^t ∈ ℝ² : y ≥ x²} ist konvex.
2. Ist x ∈ ℝ und y ≥ x², dann gibt es x₀, x₁ ∈ ℝ, so dass (x, y)^t auf der Strecke zwischen (x₀, x₀²)^t und (x₁, x₁²)^t liegt.

Comments

Hallo und danke erstmals !

zu 2)

sei x0≠x1

(x,y)∈M⇔y≥x^2

⇔tx0^2+(1−t)x1^2≥(tx0+(1−t)x1)^2

fürht durch Umformungen zu ......

0≥(t^2−t)(x0−x1)^2 , da aber x0≠x1 gewählt wurde ist (x0-x1)^2 ≥0 , daher kann dies nur zutreffen wenn t∈[0,1] ist

zu1)
{(x,y)^t ∈ ℝ² : y ≥ x²}=K

Eine Menge ist Konvex wenn 2 für beliebige Punkte die Verbindungstrecke wieder in der Menge liegt . Daher seien P1=(x0,y0) , P2=(x1,y1) ∈K dann gilt zu zeigen ;

Sp1p2∈K : Sp1p2=t*p1+(1-t)*p2=t*(x0,y0)+(1-t)(x1,y1) weil P1,P2∈K gilt y0≥x0^2 und y1≥x1^2

daher auch
t*(x0,y0)+(1-t)(x1,y1) ≥t*(x0,x0^2)+(1-t)(x1,x1^2)=(tx0+(1-t)x1,tx0^2+(1-t)x1^2)∈K