Integral von (2cos(x) + sin(x))/(cos^3(x) - cos(x)). Substiution mittels t=tan(x)

Question

Habe hier folgendes Integral:

\( \int \frac{2 \cos x+\sin x}{\cos ^{3} x-\cos x} ~ dx \)

Folgende Hinweise:

Substiiton mittels t=tan(x).

Lösung laut Integraltabelle (2/tanx)-ln|tanx|+C Interessant wäre der genaue Lösungsweg per Substitution.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraß-Substitution

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habe ich bereits angesetzt klappt damit aber nicht.

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Das funktioniert immer. Und alles, was Du gefragt hast, steht im Artikel. Inklusive Herleitung der Formeln für sin x und cos x und einem Beispiel.

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Dann wird es wohl am umstellen liegen habe alles so eingesetzt. cos(x) entsprechend ersetzt sin(x) entsprechend ersetzt dx entsprechend ersetzt. komme dann aber nicht auch die Lösung. Meiner Meinung dürfte der Ansatzt bei Wikipedia nur für t=tan(x/2) gehen. Sin(x) cos(x) und dx müsste etwas anders aussehen für t= tan(x). Habe mehere Aufgaben gerechnet wo man mit tan(x/2) substituieren sollte. Da hat das auch immer geklappt. Hier will es nicht. Werde es mir morgen noch mal anschauen brauch glaub mal kurz Abstand von der Aufgabe.

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Als Hinweis: Die Standardsubstitution funktioniert zwar immer, aber in konkreten Faellen kann man es auch anders probieren. Wenn man bei Deiner Aufgabe \(\cos x\) kuerzt, schreibt sich der Integrand als $$\frac{2+\tan x}{\cos^2x-1}.$$ Jetzt muss man bloss noch nach einer Formel suchen, die \(\cos^2x\) mit \(\tan x\) ausdrueckt. Leichte Sache.

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Vielen lieben Dank für all die Hinweise habe es jetzt hinbekommen über den Weg den MatheMB vorgeschlagen hat + die Ausführungen von Wolfgang. Den Lösungsweg von Grosserloewe konnte ich nicht ganz nachvollziehen. Aber vielen Dank für eure Mühen hat sehr viel weitergeholfen.

Answer 1

                            

Answer 2

und wenn man richtig rechnet, ergibt sich:

Subst:

$$ t = \tan(x) \iff x = \arctan(t) \iff {{\rm d} \arctan(t) \over {\rm d}t} = {1 \over t^2+1} $$

$$ \int {2\cos x+\sin x \over \cos^3 x-\cos x} dx $$

$$ = \int {2+\tan x \over -\sin^2x} dx $$

$$ = \int {2+t \over -\sin^2(\arctan t)} \cdot {1\over t^2+1} dt $$

$$ = \int {2+t \over -{t^2 \over t^2+1}} \cdot {1 \over t^2+1} dt $$

$$ = \int {2+t \over -t^2} dt $$

$$ = \int -{2 \over t^2}-{1\over t} dt $$

$$ = {2 \over t}-\ln|t| $$

$$ = {2 \over \tan x}-\ln|\tan x| $$

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Ansonsten funktioniert auch:

$$ \int {2\cos x+\sin x \over \cos^3 x-\cos x} dx  $$

$$ = \int {2\cos x \over \cos^3 x-\cos x} + {\sin x \over \cos^3 x-\cos x} dx $$

$$ = \int {2 \over \cos^2 x-1} + {\sin x \over \cos x \left(\cos^2 x-1\right)} dx $$

$$ = \int {-2 \over \sin^2 x} + {-1 \over \cos x \sin x} dx $$

$$ = {2\over \tan x} + \ln|\tan{x}| $$

Grüße,

M.B.

Answer 3

Hallo albi,

wenn man die Substitution  t = tan(x)  vorbereitet, ist es einigermaßen übersichtlich:

Folgendes wird benutzt

(1)  [ tan(x) ] ' = 1+ tan² (x)   ;  (2)   sin(x) = ± tan(x) / √(1 + tan²(x) )

dann gilt:

(2 cos(x) + sin(x)) / (cos³(x) - cos(x) 

                  =  cos(x) * ( 2 + sin(x)/cos(x) ) / [ cos(x) * (cos²(x) - 1) ]      kürzen

                  =  ( 2 + tan(x) ) / ( - sin²(x))  =₍₂₎   - [ 2 + tan(x) ] /  [ tan²(x) / (1 + tan²(x)) ]

=  - [ (2 + tan(x)) * (1 + tan²(x)) ] / tan²(x) 

Mit  t = tan(x)   →  dt/dx =₍₁₎ 1+ tan² (x)  →   dx  =  dt / (1+ tan² (x))

∫ [2 cos(x) + sin(x)] / [cos³(x) - cos(x)]  dx  

         dx  einsetzen:

=  - ∫  (2 + tan(x)) * (1 + tan²(x))  / tan²(x)  dt / (1+ tan² (x))        kürzen   

          t einsetzen:

=  - ∫  (2 + t) / t²  dt 

=   - ∫  ( 2 / t² + 1 / t ) dt   

=   - ( - 2 / t  + ln(t) ) + c₁  

=   2 / t - ln(|t|)  + c₁ 

=   2 / tan(x) -  ln( |tan(x)| )  + c 

Gruß Wolfgang