Extremwertaufgabe über einen halboffenen Zylinder

Question

ich habe mit dieser Aufgabe extreme Schwierigkeiten, ich habe bereits zwei Aufgaben dieser Art gelöst(einmal eine Laufbahn und einmal einen normalen Zylinder) aber dieses mal komme ich einfach nicht weiter, ich weiß gerade so wie man die Nebenbedingung (das gegebene) und die Zielfunktion(das gesuchte) aufstellt.
Ich soll die Abmessungen einer Dose bestimmen die oben offen ist und eine Oberfläche von 1m^2 hat. Da ich so eine Zylinderaufgabe schonmal gelöst habe, habe ich mir gedacht, dass ich die Bedingungen einfach übernehmen kann, ich muss lediglich die 2 Grundflächen durch eine ersetzen.   Da ich irgendwann nicht mehr weiter gekommen bin, habe ich in den Lösungen geguckt und verstehe jetzt nicht was dort gemacht wurde. Ich habe mehrere Fragen:1. Wie genau kommt man im mittleren Teil auf 5000r- (PI*r^{3}/(2)? Ich komme auf alles bis auf die 5000r, wenn ich das ausmultipliziere dann erhalte ich nur 5000, was genau mache ich da falsch?
2.Wie genau wurde (PI*r^{3}/(2) abgeleitet? Kann man das mit der Quotientenregel machen? Wann weiß ich wann ich den Zähler einfach so ableiten darf?
3.Wie formt man bei diesen 3 Schritten die Ableitung nach sqrt((10000)/(3*PI)) um? Ich weiß nicht mehr wie man das am besten anstellt :/
Und kennt ihr vielleicht sehr beliebte Aufgaben dieses Types die gerne in Klausuren gestellt werden? 
Danke :)
LG

Comments

> Ich soll die Abmessungen einer Dose bestimmen die oben offen ist und eine Oberfläche von 1m² hat.

Da muss man sich fragen, was mit "Oberfläche" überhaupt gemeint ist.

Soll das etwas mit Material zu tun haben?

Answer 1

Deine Ausgangsgleichung ist

V = π*r² *[ (10:000 - π*r² )/2*π*r]               auf beiden Seiten durch π*r teilen ergibt

V = r*(10.000 -π*r² )/2   ⇔

V = r*1000/2 - π*r³ /2  

V = 5000*r - π*r³ /2

Damit sollte deine erste Frage beantwortet sein.

Die Ableitung des zweiten Summanden brauchst du nicht mit der Quotientenregel zu machen. Man kann ihn auch schreiben als

-1/2 * π * r³      1/2 ist eine Konstante und wird mit 3 multipliziert und es ergibt sich 3/2 * π * r² oder 3*π*r²/2. Also ist

V' = 5.000 - 3*π*r²/2

Dann, so wie du es gemacht hast, die Gleichung gleich null setzen und nach r auflösen. Mein Taschenrechner gibt als Ergebnis aber 32,57 aus.

Falls deine Fragen damit beantwortet sind: gut, falls nicht: bitte melden!

Comments

danke für deine Antwort, ich verstehe die Aufgabe jetzt aufjedenfall besser als vorher. Ich habe aber noch 2 Fragen: Wie kommst du auf -1/2*PI*r^3? Ich hätte das so umgeschrieben: -PI*r^3*2^-1. Also wie 1/x, das wird ja auch zu x^-1. Denke ich da gerade falsch? Und wie genau weiß ich wie man am besten nach r auflöst?Ich hätte da jetzt r^2 und 5000 getauscht und das dann berechnet, woher weiß ich denn, dass ich noch 3*PI und 2 tauschen muss damit ich (10000)/(3*PI) bekomme? Wie mache ich das? :)

---

Wir hatten 

Den Bruch kann ich in zwei Summanden teilen, einer ist 10.000/2 und der andere (-pi*r^2)/2:

Ich finde es sehr kompliziert, einen Bruch als Potenz zu schreiben. 

Du kannst 5000 und r² nicht einfach tauschen. Ziel ist es, r auf einer Seite der Gleichung alleine stehen zu haben. Also "packst du rundherum alles andere weg bzw. auf die andere Seite der Gleichung". 5000 ist Teil einer Summe, also muss du auf beiden Seiten -5000 rechnen (stände dort -5000, würdest du +5000 rechnen). r² ist Teil eines Produkts, das durch Division auf die andere Seite kommt.

---

Ich verstehe jetzt alles, vielen Dank, am besten gucke ich mir nochmal die Bruchgesetze an :) Und das mit dem Umstellen ist auch nicht wirklich schwer :) Danke :)

---

Sehr gerne und viel Erfolg!