Normen auf komplexen Zahlen

Question

wie kann ich bei folgender Aufgabenstellung vorgehen? Es gibt ja die drei Axiome für Normen, soll ich die für folgendes zeigen, oder wie genau funktioniert die Aufgabe?

Zeigen Sie, dass alle Normen auf K = ℝ bzw. K = ℂ die Gestalt c· |·| mit c > 0 und dem Betrag |·| : K → ℝ haben.

Vielen Dank für Hilfestellungen!

Answer 1

Die Aufgabe hat zwei Teile.

1) Sei \(\lVert\cdot\rVert\) eine beliebige Norm auf \(\mathbb{K}\). Dann gibt es ein \(c>0\) mit \(\lVert\cdot\rVert=c\left|\cdot\right|\).

2) Fuer jedes \(c>0\) ist \(\lVert\cdot\rVert=c\left|\cdot\right|\) eine Norm auf \(\mathbb{K}\).

Der zweite Teil ist simples Nachpruefen der drei Normeigenschaften. Fuer den ersten Teil musst Du Dir noch was einfallen lassen.