Funktion f ist stetig aber nicht differenzierbar

Question

kann mir hier für jemand den Rechenweg + eine kurze Erklärung angeben ? Damit ich weiß, wie dies geht.

(3) Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x \cdot|x-2| \)
Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle 2 stetig aber nicht differenzierbar ist.
Die Ableitungsregeln dürfen verwendet werden. 

Answer 1

f(x) = x * |x - 2|

f1(x) = x * (x - 2) = x^2 - 2x für x >= 2

f2(x) = x * (-(x - 2)) = 2x - x^2 für x < 2

Nun leite die Stückweisen definierten Funktionen ab und berechne den rechts- und linksseitigen Grenzwert an der Stelle x = 2 sowohl für die Funktion als auch für die Ableitung.

Comments

Danke für die Antwort.

Stimmt das? Ich bestimmte die erste Ableitung und setzte dann die zwei an, wenn nicht das selbe rauskommt ist sie nicht differenzierbar?

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Genau. Und dann solltest du noch in die Funktion einsetzen und zeigen, dass das gleiche heraus kommt.

Answer 2

An der Stelle x=2 stimmen linksseitiger Grenzwert der Funktionwerte und rechtsseitiger Grenzwert der Funktionwerte mit dem Funktionswert überein. Für die Werte der Ableitung gilt das nicht. Hier ist an der Stelle x=2 der llinksseitige Grenzwert negativ und der rechtsseitige Grenzwert positiv.

Answer 3

  V4NDAM!

Die bisherigen Antworten zeigen lediglich, dass die Funktion f an der Stelle x=2 nicht stetig differenzierbar ist. Daraus folgt aber nicht unbedingt, dass f dort nicht differenzierbar wäre, was aber gemäß der Aufgabenstellung hätte gezeigt werden sollen. Die Aufgabe ist also keineswegs erledigt.

Zu zeigen ist noch, dass die Ableitung von f, also der Limes des Differenzenquotienten, an der Stelle x=0, gar nicht existiert.

Answer 4

betrachte den Differentialquotienten:

$$ f'(2)=\lim_{h\to0}\frac { f(2+h)-f(2) }{ h }=\lim_{h\to0}\frac { (2+h)|h| }{ h }\\ $$

Dieser Grenzwert existiert nicht, da für positive h |h|/h=1 und für negative h |h|/h=-1

Die Funktion ist stetig, da es sich um ein Produkt zweier stetiger Funktionen  handelt (x und |x-2|)