ableitung von ln(|cos(x)|) für x element ]-pi/2 ; pi/2[

Question

ich habe zunächst den Betrag aufgelöst und die Fälle x=0, x>0 und x<0 untersucht.

Für x≠0 komme ich in beiden Fällen auf -tan(x) für die Ableitung. Für x=0 habe ich das ganze formal mit dem Differenzialquotienten untersucht und bin auf

lim ln(|cos(h)|) / h  gekommen, wobei h natürlich gegen 0 läuft. An der Stelle würde ich jetzt l´hospital anwenden.

Bei diesem Schritt habe ich eine Frage. Ist die Ableitung d/dx ln(|cos(h)|)  =  1/|cos(h)| *(-sin(h))*sign(|cos(h)|) ? Hier dürfte ich ja für h=0 einsetzen und würde dann entsprechend auf 0 für die Ableitung kommen.

Aber passt die Ableitung oben? Das mit der Kettenregel ist klar, nur bei dem Schritt mit dem Nachdifferenzieren *(-sin(h))*sign(|cos(h)|)  bin ich mir unsicher.

Danke schon mal!

Answer 1

f(x)=ln(|cos(x)|) dann ist f '(x)= - tan(x). Das ist richtig.

Comments

Ist das mit der Grenzwertbetrachtung für x=0 auch korrekt? Sprich auch die Ableitung was ich oben gemacht habe`?

Answer 2

Allgemein

[ ln ( term ) ] ´ = ( term ´ ) /  term

Der cos im Intervall ist positiv.
Die Betraqgsstriche können entfallen.

[ ln ( cos ( x ) ] ´ = - sin ( x ) / cos ( x ) = - tan ( x )

mfg Georg

Comments

Der Fall x=0 muss also nicht extra untersucht werden?

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Für

| wert | muß nur dann eine Fallunterscheidung
getroffen werden wenn der wert mal postiv mal
negativ ist

Der cos im Intervall [ - π ; π ] ist stets postiv.

Das Betragszeichen kann entfallen.

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Alles klar,

Ist die Ableitung von |cos(x)| ganz allgemein -sin(x)*sign(cos(x)) ?

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f ( x ) = | cos ( x ) |

1.Fall cos ( x ) > 0
f ( x ) = cos ( x )
f ´( x ) = - sin ( x )
erweitert zu
f ´( x ) = - sin ( x ) * sign(cos(x)) ( + )
ist
f ´( x ) = - sin ( x )

- sin ( x ) = - sin ( x ) * sign(cos(x))

2.Fall cos ( x ) < 0
f ( x ) = cos(x) * (-1)
f ( x ) = - cos(x)
f ´( x ) = sin ( x )
erweitert zu
f ´( x ) = - sin ( x ) * sign(cos(x)) ( - )
ist
f ´( x ) = sin ( x )

sin ( x ) =  - sin ( x ) * sign(cos(x))

Also lassen sich beide Fälle durch

f ´( x ) =  - sin ( x ) * sign(cos(x))

ersetzen.

Bliebe noch cos ( x ) = 0
sign ( 0 ) = 0

An diesen Stellen dürfte die Funktion
nicht differenzierbar sein