Monotonie untersuchen von Funktion f(x)= ln(x^2)

Question

bitte um Hilfe bei der fkt= f(x)= ln(x²)

Answer 1

x^2 ist streng monoton steigend für x > 0

ln(x) ist streng monoton für x > 0

damit gilt

ln(x^2) ist streng monoton steigend für x > 0

Untersuchst du jetzt mal wie das für x < 0 aussieht ?

Comments

für <0 ist es dann streng monoton fallend

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1. Ableitung ist 2/x . wie untersuche ich das denn weiter?

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2/x > 0 für x > 0

2/x < 0 für x < 0

Aber eigentlich wollte ich durch meinen Beitrag dir durch die Blume sagen, dass man überhaupt keine Ableitung braucht, wenn man das Verhalten der Grundfunktionen kennt.

Exakt. Dann kann man sich noch einen Graphen zeichnen zur Überprüfung

~plot~ ln(x^2) ~plot~

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aber ich muss doch die 1. Ableitung null setzen? quasi die 2 dann aus dem Zähler oder?

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2/x ist nie null. Der Graph hat also an keiner Stelle eine horizontale Tangente. Schau dir dazu auch den Graphen an.

Die Monotonie ändert sich an einer Polstelle. Ich weiß nicht genau ob man hier auch Polstelle sagt, weil es keine gebrochen rationale Funktion ist.

Answer 2

  f ( x ) = ln ( x² )

Merken :
[ ln ( term ) ] ´ = ( term ´ ) / term

term = x^2
term ´= 2 * x

f ´( x ) =  ( 2* x ) / x^2
f ´( x ) = 2 / x

Monotonie > 0
2 / x > 0 
x muß positiv sein
x > 0

Monotonie < 0
2 / x < 0 
x muß negativ sein
x < 0

Comments

1 Ableitung hast du aber nicht null gesetzt?

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2/x=0  x=0???

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2 / x = 0  | * x
( 2 / x ) * x = 0 * x
2 = 0

Es gibt kein x mit welchem die Gleichung
wahr wird.

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ah okay und dann gucke ich wie es sich von null aus entwickelt wenn grösser oder kleiner!?

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Nicht ganz so richtig.

Bei Monotonnie-Untersuchung gehe ich wie
folgt vor.

1.Stelle(n) mit waagerechter Tangente bestimmen
f `( x ) = 0
x = ...

2. Monotonie steigend
f ´( x ) > 0
x = ...

3. Monotonie fallend
f ´( x ) < 0
x = ...

Damit hast du für alle Bereiche die Monotonie
ermittelt.

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wenn ich x= - werte einsetzte sind es ja unendlich viele für <0 fallend und umgedreht für >0 +unendliche werte steigend

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Genau.

für x < 0 gibt es unendlich viele Funktionswerte  f ( x )
Das Ganze ist dann der linke Ast des Graphen.

für x > 0 gibt es unendlich viele Funktionswerte  f ( x )
Das Ganze ist dann der rechte Ast des Graphen.

Im linken Ast ist die Monotonie negativ ( fallend )
Im rechten Ast ist die Monotonie positiv ( steigend )

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dann habe ich es endlich verstanden!

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Schön zu hören.
Dazu ist das Forum da.

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was ist nicht ganz verstehe ich wenn ich zum Beispiel die quadratische Ergänzung anwenden muss weil ich mit der pq Formel keine Lösung rausbekomme, wie ich dann weiterverfahren muss? auch wenn ich nachweislich mit der quadratischen Ergänzung keine Lösung rausbekomme.kann ich das vom Binom dann ableiten? quasi da es dann zum Quadrat wird und das immer positiv wird. z.b ich bekomme mit der quadratischen Ergänzung (x-2)^2 +2 raus. ist ja keine Lösung. wie weise ich dann die monotonie nach?

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Leider habe ich den Sinn deiner Frage nicht
verstanden

Gib einmal ein Beispiel.

Die quadratische Ergänzung kann verwendet
werden um einen Term / Funktion in eine
binomische Formel umzuändern.

x^2 + 2x
( a^2 + 2ab + b^2 )
x = a
x^2 = a^2
2x = 2ab  => b = 1
b^2 = 1

x^2 + 2x + 1^2 - 1^2
( x + 1 )^2 - 1

x^2 + 2x =  ( x + 1 )^2 - 1

Dann liegt x nicht mehr als Quadrat und 1.
Grades vor sondern nur noch 1.Grades.

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okay und daraus kann ich dann die monotonie ableiten?? das verstehe ich nicht ganz was mir dann das Binom sagt?

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Was ist deine Auagangsfunktion von der die
Monotonie bestimmt werden soll ?

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x^3 +3x^2+6x-4

bilde ich die 1. Ableitung = 3x^2 +6x+6

habe ich dann 0 gesetzt 1. abl. und dann mit der quadr. Ergänzung weiter gemacht. da habe ich rausbekommen (x+1)^2+1

er gibt ja sozusagen keine Nullstelle das Binom!

wie muss ich denn jetzt das verhalten auf monotonie weiter betrachten?

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f ´( x ) = 3x² +6x+6

Stelle mit waagerechter Tangente
( Steigung = 0 )
3x² +6x+6 = 0  | : 3
x^2 + 2x + 2 = 0
x^2 + 2x + 1^2 - 1 + 2 = 0
( x + 1 ) ^2 = -1

jetzt ist klar : es gibt kein x mit der obige
Gleichung wahr wird.

Bezogen auf den Sachverhalt : es gibt keine
Stelle mit waagerechter Tangente ( Extrempunkt
oder Sattelpunkt.

Weiter : Monotonie steigend
3x² +6x+6 > 0
( x + 1 ) ^2 + 1 > 0
Ohne zu rechnen : stets wahr

Die Funktion ist stets steigend.
Die erste Ableitung ist stets positiv.

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also hast du für x einen wert eingesetzt und durch das Quadrat kann nes ja nur positiv sein, oder?

wie sieht es bei der Funktion aus: f(x)= x³-6x²+18+2006

1.Ableitung: f(x)= x²-4x+16

hab mit quadratischen Ergänzung dann (x-2)²+2

was sagt mir das? setzte ich  für x einen wert und gucke was passiert ? oder ist es immer streng monoton steigend?

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f(x)= x³-6x²+18+2006
1.Ableitung: f(x)= x²-4x+16

Stimmt nicht

f ´( x ) = 3 * x^2  - 12 * x

Ich nehme einmal an deine 1.Ableitung ist richtig

f ´( x ) = ( x - 2 ) ^2 + 2

Für eine Stelle x die Steigung
z.B. x = 3
f ´( 3 ) = ( 3 - 2 ) ^2 + 2 = 3

Wir wollen aber wissen wann diese Funktion 0, positiv
oder negativ ist. Nicht nur an 1 Stelle.

Jetzt nehmen wir einmal an die
Steigungsfunktion sei

f ´( x ) = ( x - 2 ) ^2 - 3

Die Funktionswerte ( y - Achse ) können 0, positiv ( oberhalb )
der x--Achse ) oder negativ sein ( unterhalb der x-Achse.

Alles drei ist möglich.

Ich schrieb

Bei Monotonie-Untersuchung gehe ich wie
folgt vor.

1.Stelle(n) mit waagerechter Tangente bestimmen
f `( x ) = 0
x = ...

2. Monotonie steigend
f ´( x ) > 0
x = ...

3. Monotonie fallend
f ´( x ) < 0
x = ...

Damit hast du für alle Bereiche die Monotonie
ermittelt.

Bitte wende dies Vorgehen einmal an.
Stelle zumindest die Gleichungen und
Ungleichungen einmal auf.

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Videos zum Thema  findest du unter

https://www.youtube.com/watch?v=7AcqYbc5n4w

oder bei Google eingeben

mathematik video monotonie

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 oh sorry, ich hatte noch ein x bei der 18 vergessen!

x³-6x²+18x+2006 

dann müsste es wieder passen mit meiner errechneten quadratischen Ergänzung 

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1.Ableitung: f(x)= x²-4x+6

hab mit quadratischen Ergänzung dann (x-2)²+2

und dann kommt der Punkt wo ich nicht genau weiter weiss????

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So. Dies ist jetzt mein letzer Versuch.
Du hast eine Funktion
f ( x ) = x^3 / 3 - 2 * x^2 + x
Dies ist der Graph.

Es soll das Steigungsverhalten ( Monotonie )
ermittelt werden
Bis ca 0.25 ist die Steignung positiv.
Bei 0.25 ist sie null
Zwischen 0.25 bis ca 3.75 fällt die Funktion
Bei ca 3.75 ist die Steigung wieder null.
Dann ist die Steigung wieder positiv.
ich hoffe du siehst dies in der Grafik.

Die Funktion der Steigung ist die 1.Ableitung

f ´( x ) = x^2 - 4x + 1

Der Graph sieht folgendermaßen aus

Der Graph zeigt dir
( vergleiche mit oben )
Bis ca 0.25 ist die Steigung positiv.
( Funktionswerte positiv )
Bei 0.25 ist sie null
Zwischen 0.25 bis ca 3.75 fällt die Funktion
( Funktionswerte negativ )
Bei ca 3.75 ist die Steigung wieder null.
Dann ist die Steigung wieder positiv.
( Funktionswerte positiv )

Du sollst nun rechnerisch untersuchen wann
f ´( x ) = 0
f ´( x ) > 0
f ´ ( x ) < 0

Für f ´( x ) = 0 ist dies
f ´( x ) = x^2 - 4x + 1 = 0
x^2 - 4x + 1 = 0
Hier mit quadr.Ergänzung / pq-Formel geht auch
x^2 -4x + 2^2 - 2^2 + 1
( x -2 ) ^2 - 3 = 0
( x -2 ) ^2 =  3
x -2 = ±√ 3
x = ±√ 3 + 2
x = +√ 3 + 2 = 3.732
x = -√ 3 + 2 = 0.268

Dies sind die Stellen an denen die Steigung 0 ist.
Extremstellen
( 0.268 | 0.13 )
( 3.732 | - 6.8)
siehe Grafik oben

Jetzt mußt du noch berechnen
f ´( x ) = x^2 - 4x + 1 > 0
f ´ ( x ) = x^2 - 4x + 1 < 0

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Hätte ich vielleicht vergessen zu erwähnen. Wir dürfen das nicht zeichnen. Zeichnerisch ist das für mich ganz einfach vorzustellen. Das Problem ist wie müssen es rechnerisch nachweisen und da kann ich mir das nicht so richtig vorstellen wie das läuft. Wie untersuche ich denn meine ermittelte Funktion mit der quadratischen Ergänzung? (x²-2)²+2. ich bekomme ja keine lösubg raus bei den nullstellen.

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was sagt miriam wenn ich bei der quadratischen Ergänzung sozusagen keine Lösung rausbekomme?

das es immer positiv ist durch das Quadrat ?

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(x²-2)²+2
ist schon einmal falsch. Es muß heißen
( x -2 )² + 2

f ´( x ) = 0
( x -2 )² + 2 = 0
hat auch keine Lösung. Es gibt kein x mit dem
dies Gleichung wahr wird.

Im Sachzusammenhang bedeutet dies.
Es gibt keine Stelle an der die Steigung null ist.

Du untersuchst 3 Fälle

1.) f ´( x ) = 0
2.) f ´( x ) > 0
3.) f ´( x ) < 0

Wenn es für den 1.Fall keine Lösung gibt dann hat die
Funktion f ( x ) keine Stelle mit waagerechter Tangente

Wenn es für den 2.Fall keine Lösung gibt dann hat die
Funktion f ( x ) keine steigende Bereiche 

Wenn es für den 3.Fall keine Lösung gibt dann hat die
Funktion f ( x ) keine fallende Bereiche

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ist das imm er as selbe schema wenn ich an der steigung null keine stelle befindet?!

und so würde ich das dann aufschreiben als Nachweis mit den 3 fällen oder 3 Bereichen, die ich untersuche?

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Ich muß morgen früh einen Krankenhaus-
termin wahrnehmen und kann mich nicht mehr
um dich kümmern.

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Sieh dir die Antworten nocheinmal an.

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okay, danke dir nochmals für die ausführlichen antworten!

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2.Fall
f ´( x ) > 0
( x -2 )² + 2 > 0
( x -2 )² > -2
Stets. Die Ausgangsfunktion f ( x ) ist stets
steigend.

3.Fall
f ´( x ) < 0
( x -2 )² + 2 < 0
( x -2 )² < -2
Nie. Die Ausgangsfunktion f ( x ) ist nie
fallend.

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sie kann nie fallen, weil das Quadrat immer positiv ist, richtig?? deshalb kann sie nur steigend sein also grösser null?

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JA.JA.JA. Fülltext.

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endlich, dann hab ich es verstanden. hatte es mir auch schon die ganze zeit so gedacht durch das Quadrat nur positiv sein kann, sprich smw!