Ich stoße gerade auf die Frage, daher, sollten andere hierauf stoßen und eine Antwort brauchen, hier ist eine:
Beides ist ziemlich trivial wenn man konsequent die Definitionen anwendet:
(a): $$t \in T \Rightarrow \forall r \in R: t\cdot r \in T$$
Denn für $$k \in R-{0}$$ mit $$k\cdot t = 0$$ gilt: $$k \cdot (t \cdot r) = 0$$
(b): Sei das System $$(x_i)_{i\in I}$$ ein Erzeugendensystem.
Man gehe von einer Torsion t ungleich 0 aus mit $$k\cdot t = 0$$
Dann gilt
$$k \cdot t = \sum k a_i x_i = 0$$
Da aber $$k a_i$$ nicht null ist (es existiert ein solches i, da t ungleich 0 ist und R ein Integritätsbereich ist), ist das System somit nicht linear unabhängig und M damit insbesondere nicht frei.
[Man braucht hier übrigens nur die Nullteilerfreiheit von R, die Kommutativität könnte auch weggelassen werden. Man könnte die aussagen also noch verallgemeinern ohne Aufwand.]
Grüße
