Skizzen zuordnen und: Welche f sind stetig fortsetzbar in (0,0)?

Question

Ich habe hier die Aufgabe:



Jetzt sehe ich sofort, dass f1 zu rechts oben gehört, das beide als einziges Symmetrisch sind. Allerdings weiß ich nicht wie ich die restlichen 3 begründen soll. Des weiteren verstehe ich nicht, wie ich das mit der stetigen Fortsetzbarkeit machen soll

Comments

Ich sehe zudem:

f4 gehört zum Bild unten links, da das Vorzeichen von x auch gleich das Vorzeichen des Funktionswerts bestimmt.

---

stimmt, damit sollte man das begründen können :)

---

Ich vermute, dass f2 weniger wild aussieht als f3, da der Grad des Nenner kleiner ist als der des Zählers (bzw. in den Variabeln gesprochen: sind die Grade oben und unten gleich).

Gib doch f2 und f3 noch bei Wolframalpha ein, dann hast du eine Kontrolle.

---

kann ich natürlich machen, aber ich muss ja auch begründen, warum ich was wie zuordne.

---

Schreibe die Funktionen in Polarkoordinaten. Das ist sehr hilfreich für die Vorstellung und auch für die Frage, ob man im Nullpunkt stetig ergaenzen kann.

---

ok, aber was bedeutet dieses stetig ergänzen und wie bekomme ich raus ob das geht?

Answer 1

Gib erstmal die Darstellungen in Polarkoordinaten an, dann wird man weitersehen.

Comments

ok,also das erste wäre ja z.B. √(r^2-y^2)*√(r^2-x^2)

PS: ich denke du meinst jetzt nicht die schreibweise mit trigonometrischen Funktionen?

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten

---

@jvc96: So eliminierst du nur die Vorzeichen.

Warum denn nicht f1(r,phi) = r cos(phi) * r*sin(phi) = 1/2 r^2 sin(2 phi) ?

---

war mir nur nicht sicher, was man für diese stetige fortsetzung braucht.

---

Mach es einfach mal. An der Stelle (x,y) = (0,0) ist r=0 und phi beliebig.

---

obwohl ja phi keine rolle mehr spielt wenn r=0 ist bei dieser Funktion. Aber was sagt mir das ganze ( also f=0 für x=y=0) jetzt über die stetige Fortsetzbarkeit aus?

---

??                            

---

Wo sind denn jetzt f1 bis f4 in Polardarstellung ?

Bei welchen kannst du einen eindeutigen Grenzwert finden, wenn r gegen 0 geht?

---

ok, also f2 ist 1/2r*sin(2phi) -> der grezwert ist also eindeutig 0

bei f3 ist es dann sin(2phi) also kein grenzwer, da r nicht mehr vokommt

bei f4 ist es cos(phi) also auch nicht mehr von r abhängig

---

Schön. Dann hat das doch funktioniert. Oder?

---

also soll man bei stetig fortsetzen nur gucken, ob die funktionen in 0 stetig sind?

Dann muss ich jetzt nur noch wissen, wie ich f2 und f3 zuordnen kann. Da habe ich nämlich noch immer keine Idee

---

also soll man bei stetig fortsetzen nur gucken, ob die funktionen im Punkt (0,0) stetig sind?

Wenn das in der Frage so formuliert ist, genügt das eigentlich.

---

ja, die Frage steht ja oben im Bild ;)

Dann muss ich jetzt nur noch wissen, wie ich f2 und f3 zuordnen kann. Da habe ich nämlich noch immer keine Idee

---

Welches von denen sieht denn im Bild stetig aus in (0,0) ?

---

unten rechts. also reicht als begründung einfach, dass unten rechts zu f2 gehört weil es stetig in 0 ist?

---

Wenn du die andern schon zugeordnet hast, sollte das als Begründung genügen.

---

naja, ich sage, dass d1 zu oben rechts gehört. weil es symmetrisch ist und und x=y=f=0 gilt. Das trifft zwar auch auf unten links zu, aber das hat für x y und f kleinere maximalwerte, weil bei f2 noch der Bruch dazukommt. f4 ist dann unten links, weil das vorzeichen von x das vorzeichen des Funktionswertes bestimmt. Folglich gehört f3 zu oben links

Answer 2

Z.B. ist \(f_3\) wegen \(f_3(x,x)=1\) und \(f_3(x,-x)=-1\) in \((0,0)\) nicht stetig fortsetzbar.

Comments

$$\vert f_2(x,y)\vert=\frac{\vert xy\vert}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\frac{\vert xy\vert}{\sqrt{y^2}}=\frac{\vert x\vert\vert y\vert}{\vert y\vert}=\vert x\vert\to0.$$Demnach ist \(f_2\) vermöge \(f_2(0,0):=0\) in \((0,0)\) stetig fortsetzbar.