Ortsvektor des Schwerpunkts eines Dreiecks mit Hilfe einer Linearkombination

Question

....Erster Teil der Aufgabe war das verhältnis der seitenhalbierenden in einem Dreieck abc anzugeben ...dieses ist jeweils 2:1
Nun soll ich mit hilfe des Verhältnisses den ortsvektor 0S S(schnittpunkt der Seitenhalbierenden) mit den Ortsvektoren 0A 0B und 0C angeben. Leider bin ich nun etwas überfragt und weiß nicht wie mir das gelingen soll

Comments

Welcher Anfangs- und Endpunkt soll der Vektor 0S haben?

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mehr informationen habe ich leider nicht

Answer 1

0S = 0A + AS = 0A + 2/3 AN

AN = AB + BN

BN = 1/2 BC

AN = AB + 1/2 BC

AS = 2/3 AN         |AN einsetzen

AS = 2/3 (AB + 1/2 BC)              |Verbindungsvektoren via Vektorsubtraktion

0S = 0A + 2/3 ( (0B-0A) + 1/2 (0C - 0B))

nun erst mal überprüfen und dann die Klammern auflösen.

Rauskommen sollte eigentlich

0S = 1/3(0A + 0B + 0C)

Comments

ich verstehe es aber schon ab der 2. zeile irgendwie nicht :O? könntest du es mir nochmal erläutern... :/

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0S = 0A + 2/3 ( (0B-0A) + 1/2 (0C - 0B))

= 0A + 2/3 ( 0B - 0A + 0.5 0C - 0.5 0B)

= 0A + 2/3 ( 0.5 0C + 0.5 0B - 0A )

= 0A + 1/3 0C + 1/3 0B - 2/3 0A

= 1/3(0A + 0B + 0C)

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das sieht ja alles schön aus, doch blicke ich da gar nicht durch ....

was ist denn meine "strecke" 0A? ...usw...ich kann das leider nicht nachvollziehen

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ich wüde mich sehr über jeweils eine kurze erläuterung zu jeder zeile freuen ...damit ich da überhaupt mal durchblicke ....

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Habe zu Beginn ein paar Zwischenschritte eingefügt.

Vgl. Vektoraddition https://de.wikipedia.org/wiki/Vektoraddition#Addition_und_Subtraktion Vektoreinführung: https://www.matheretter.de/wiki/vektoren

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@ Anonym:

Schau mal in meine Lösung unten. Das Ergebnis ist nicht so schön einfach wie das von Lu, lässt sich aber dahin umformulieren.
Vielleicht verstehst Du mein Vorgehen besser :-)

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Ich glaub er meint die Notation 0S.


0S soll der Vektor sein von einem beliebigen Ursprung ausgehend zum Punkt S

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also die eingefügten zweilen sind verständlich ....aber dennoch frage ich mich wie das dann mit dem 2/3 usw kommt ....?

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0 ist der Koordinatenursprung. Den musst du in deiner Abbildung noch ergänzen. Der Übersicht halber irgendwo neben dem Dreieck, so , dass die Ortsvektoren 0A, 0B und 0C nicht gerade auf bereits vorhandenen Linien liegen.

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"....Erster Teil der Aufgabe war das verhältnis der seitenhalbierenden in einem Dreieck abc anzugeben ...dieses ist jeweils 2:1"

Daher kommt das 2/3

Z.B. Die Strecke von A nach S ist doppelt so groß wie die Strecke von S nach N. Wir haben also sozusagen 2mal die Strecke von S nach N und einmal die Strecke von S nach N = 3 Strecken.
Wir gehen aber von A nach S nur 2 von den insgesamt 3 "Wegen", also 2/3

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also die eingefügten zweilen sind verständlich ....aber dennoch frage ich mich wie das dann mit dem 2/3 usw kommt ....?

Schwerlinien im Dreieck schneiden sich im Verhältnis 2:1. Daher 2/3 AN = AS.

https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende

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das ist mir ja klar aber waurm dann 2/3*ab??

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Jetzt oben verständlicher?

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aaaah vielen vielen dank ....wirklich!!! :)

....wie schaffe ich jetzt noch die Umformuung :)?

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ah die hast du ja angehängt ...daaaanke!!! :)

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Bitte gern. Inzwischen hab ich sogar noch versucht zu zeichnen.

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ich muss aber doch nochmal nachfragen und zwar ... AN ist doch nicht wirklich die summe aus AB und BN ...müsste ich AB und BN nicht noch mit einem Faktor multiplizieren, dass es wirklich stimmt :O?

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AB + BN = AN 

Es ist das Prinzip der Vektoraddition, dass entlang von Vektorketten addiert wird. Schau mal die Skizzen und Definition der Vektoraddition bei Wikipedia an: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor#Rechenoperationen

Answer 2

N = (C + B)/2

Der Richtungsvektor von A nach N lautet also:
N - A = (C + B)/2 - A

Dann legen wir diesen Richtungsvektor 2/3 mal an A an, um S zu erhalten:
S = A + 2/3 * [ (C + B)/2 - A ]

(Könnte man jetzt noch vereinfachen.)


Analog:

M = (A + B)/2

Richtungsvektor von C nach M:

M - C = (A + B)/2 - C

S = C + 2/3 * [ (A + B)/2 - C ]

(Auch das könnte man noch vereinfachen.)


Setz doch mal für A, B und C ein paar Werte ein und überprüfe - eventuell zeichnerisch -, ob das stimmt.

Sollte eigentlich :-)


Besten Gruß

Comments

N = (C + B)/2

Sollte da nicht C-B sein "Spitze minus Schaft" oder vertue ich mich mit der Notation?

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wie kann ich es denn mit dem ortsvektore 0A 0B usw. umformen?

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Brucybabe spart sich jeweils das 0 und schreibt A für 0A, S für 0S.

0N = (0C + 0B)/2  ist schon ok.

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@ tuni09:

Um die Mitte der Strecke zwischen zwei Punkten zu finden, dividiert man deren Summe in der Tat durch 2.

Beispiel:
A(5|9), B(7|13)

Intuitiv sieht man sofort die Mitte:

M(6|11)

Und rechnerisch?

(A + B)/2 = [ (5|9) + (7|13) ] / 2 = (12|22) / 2 = (6|11)


"Spitze minus Schaft" nutzt man, um den Richtungsvektor zu berechnen :-)

Könnte man auch nutzen, wäre aber etwas aufwändiger:

B - A = (2|4) = r

A + 1/2 * r = (5|9) + (1|2) = (6|11)

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@ Lu:
Danke für die Erklärung, genau so ist es :-)

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das mit durch 2 ist mir eh klar^^. Mir gings eher um das "-"

aber hab die Notation falsch aufgefasst. Bin eine ander gewohnt

A ist für mich ein Punkt

AB ein Vektor (also eigentlich mit Pfeil drüber^^)

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@ tuni09:

Das ist wohl richtig. Aber was ist eigentlich der Unterschied zwischen dem Punkt A(5|9) und dem Orstvektor OA(5|9)?

Interessant wird es doch erst, wenn wir mit Richtungsvektoren hantieren :-)

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P.S.

Wobei wir natürlich den Ortsvektor OA als Richtungsvektor von O nach A verstehen können :-)

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Folgendes hab ich missverstanden.

Hab 0N und den Vektor CN verwechselt.

Ich dachte eben du rechnest diesen Richtungsvektor aus.

Ortsvektor, Richtungsvektor, ist doch alles ein Vektor man bräuchte ja nur den Anfangspunkt hinschreiben.

Sicher eine Erfindung von nem Pyhsiker^^

Aber danke kenn mich jetzt aus :)

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@ tuni09:

Hauptsache, man kann damit rechnen!

Wer versteht schon Mathematiker oder Physiker :-D

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Punkte und (Orts-)Vektoren sind tatsächlich dasselbe. Die Unterscheidung liegt eher an den Tangentialvektoren, die in der Differentialgeometrie etwas vollkommen anderes sind. Im euklidischen Raum kann man aber (nach der Schule!) alles als dasselbe ansehen.

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kann man mir bitte bitte nochmal helfen ....

warum AN=AB+BN ist ...ohne jeweils einen Faktor zu mulitplizieren ...dies leuchtet mir noch nicht ein

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@ Ché Netzer:

Das ist hilfreich - vielen Dank!

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@ Anonym:

AN = AB + BN

AN bezeichnet doch die Strecke vom Punkt A zum Punkt N. 

Das hat nichts mit Multiplikation zu tun, korrekterweise müsste man auch  einen waagrechten Strich über AN "machen". 

AB ist der Richtungsvektor von A nach B (eigentlich mit einem nach rechts gerichteten Pfeil über AB gekennzeichnet). 

Und BN ist wiederum die Strecke von B nach N (auch mit einem waagrechten Strich gekennzeichnet).

Nun hast Du die Möglichkeit von A über B (also AB) und dann von B nach N (BN) zu kommen. 

Oder Du nimmst die schräge "Abkürzung" AN. 

Du startest in beiden Fällen bei A und landest bei N; deshalb

AN = AB + BN