Potenzreihe für Arcustangens

Question

Hier stehe total auf dem Schlauch  :)

Bitte mit Rechenweg

Vielen Dank

Immai

Aufgabe \( \mathrm{H} 60 . \)
Potenzreihe für den Arcustangens
(a) Bestimmen Sie eine Potenzreihentwicklung für \( f:(-1,+1) \rightarrow R: x \mapsto \frac{1}{1+x^{2}} \) unter Verwendung der geometrischen Reihe.
(b) Zeigen Sie, dass für \( x \in(-1,+1) \) die Potenzreihe
$$ F(x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1} $$
konvergiert.

(c) Weisen Sie mittels (a) nach, dass \( \frac{d}{d x}(\arctan (x)-F(x))=0 \) ist für \( x \in(-1,+1) \) Uberprüfen Sie arctan(0) \( -F(0)=0 \). Folgern Sie, dass
$$ \arctan (x)=F(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1} $$
$$ \text {ist für } x \in(-1,+1) $$
(d) Bestimmen Sie \( w=\sqrt{3} \arctan (1 / \sqrt{3}) \)
Zeigen Sie mittels (c), dass \( w=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{3^{-k}}{2 k+1} \) ist.

Bestimmen Sie \( w_{3}:=\sum \limits_{k=0}^{3}(-1)^{k} \frac{3^{-k}}{2 k+1} \)
Zeigen Sie mittels \( 1.9 .5, \) dass \( \left|w-w_{3}\right| \leqq 3^{-6} \) ist.
Online-Aufgabe. 

Answer 1

Die geometrische Reihe 1 +q + q² + q³ + ..... gehorcht ja für |q| < 1 der Summenformel

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{q^n} = \frac { 1 }{ 1-q } $$

also ist für q = -x2  die gesuchte Pot.reihe

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{(-x^2)^n} = \frac { 1 }{ 1+x^2 } $$

oder auch

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*x^{2n}} = \frac { 1 }{ 1+x^2 } $$

bei b) zeigst du nur (z.B. mit Wurzelkriterium) Konvergenzradius = 1.

c)

$$ \frac { d}{ dx} (arctan(x) - F(x)) $$
$$ = \frac { 1 }{ 1+x^2  }- F '(x) $$
und F ' (x) bestimmst du durch gliedweises Ableiten
der Reihe aus b) und setze dann für
$$\frac { 1 }{ 1+x^2  } $$
die Reihe aus a) ein und du siehst:
$$ = \frac { 1 }{ 1+x^2  }- F '(x) = 0 $$

Comments

Kannst du bitte auch fie d zeigen?

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erst mal arctan(1/√3)  =   x

dann ist

            tan(x) =  (1/√3)  = sin(x) / cos(x)

                   (  1/2 )   /  (  (√3)/2  )  = sin(x) / cos(x)

           nun ist ja sin(pi/6)=1/2 und cos(pi/6)=(√3)/2

also x = pi/6 und damit  w=(√3)*pi/6.

  $$ w= \sqrt { 3 }*arctan(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })$$
wegen c mit$$ x=1/\sqrt { 3 }$$
$$ w= \sqrt { 3 }*\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k+1}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sqrt { 3 }*\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }{(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k}}{ 2k+1 } }$$
1/wurzel(3) aus der Summe ziehen
$$ w= \sqrt { 3 }*\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ 3 })}^{k}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { { 3 }^{-k}}{ 2k+1 } }$$

q.e.d.

1.9.5 kenne ich nicht. Vielleicht: Abschätzung mittels Satz von Taylor ???