(∀x(P(x) ∨ φ)) ↔ ((∀x(P(x)) ∨ φ) beweisen oder widerlegen

Question

ich soll folgende logische Formel beweisen oder widerlegen:

(∀x(P(x) ∨ φ)) ↔ ((∀x(P(x)) ∨ φ)

P(x) und φ sind dabei nicht weiter definiert, es geht primär um die Klammerung.

Mein Ansatz wäre, dass auf der linken Seite sich ja ∀x auf P(x) als auch auf φ bezieht, bei der rechten Seite nicht, wo es sich ja nur auf P(x) bezieht. Angenommen φ würde x nicht enthalten, wären beide Seiten dann äquivalent?

Besten Dank :)

Answer 1

Ich denke ja; denn wenn   Angenommen wird  φ würde x nicht enthalten

und 1. Fall      φ      immer wahr

Dann ist (∀x(P(x) ∨ φ)) wahr und  ((∀x(P(x)) ∨ φ)  wahr.

und 2. Fall      φ      immer falsch

Dann ist (∀x(P(x) ∨ φ))  genau dann wahr wenn für alle x auch P(x) wahr ist

 und  ((∀x(P(x)) ∨ φ)  wahr ebenso.