Integral x*e^{-x} für x von 0 bis unendlich?

Question

Wie kann ich dieses Integral lösen? Ich weiß nicht wie ich das mit 0 und ∞ mache soll.

\( \int \limits_{0}^{\infty} x \cdot e^{-x} d x \)

Muss ich dazu den Limes benutzen?

Answer 1

ja das macht man mithilfe eines Grenzwerts:

$$ \int_{0}^{\infty}xe^{-x}=\lim_{a\to\infty} \int_{0}^{a}xe^{-x}$$

Answer 2

f(x) = x·e^{-x}

F(x) = - e^{-x}·(x + 1)

lim (t --> ∞) ∫ (0 bis t) f(x) dx = lim (t --> ∞) F(t) - F(0) = 0 - (-1) = 1

Damit das für dich etwas klarer wird hier die Zeile nochmals auf Hauptschulniveau notiert. Achtung. So sollte man es nicht machen! 

∫ (0 bis ∞) f(x) dx = F(∞) - F(0) = 0 - (-1) = 1

Answer 3

Hi,

nutze die partielle Integration zur Bestimmung des Integrals.

--> lim_(a → ∞) [-(x+1)*e^{-x}]_(0)^a = 1

denn für 0 bleibt der ganze Ausdruck 0 und für ∞ strebt der Exponent der e-Funktion gegen 0 und damit die e-Funktion gegen 1. Der Faktor (x+1) hat da dann nicht mehr viel zu sagen.

Grüße

Answer 4

> Muss ich dazu den Limes benutzen?

Ja. Das steht auch so in der Definition, die du vorliegen haben solltest:

        \(\int_{a}^{\infty}f(x)\,\text{d}x := \lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\)