Bestimmen Sie Definitionsbereich und Vorschrift der Umkehrfunktion von f.

Question

Es sei f: )0, +∞) → ℝ : x↦ x² + x-1

Bestimmen Sie Definitionsbereich und Vorschrift der Umkehrfunktion von f.

Comments

Tipp: x^2+x-1=(x+1/2)^2 -5/4

Answer 1

f ( x ) = x² + x-1
D = [ 0 ; ∞ [
W = [ -1 ; ∞ [

y =  x² + x-1
x =  y² + y -1
x = y ^2 + y + (1/2)^2  - (1/2)^2 -1
x + 5/4 = ( y + 1/2 )^2
y + 1/2 = ± √ ( x + 5/4 )
y = ± √ ( x + 5/4 )  - 1/2

g1 ( x) = √ ( x + 5/4 )  - 1/2
D = [ - 1 ; ∞ [

Comments

Dein Def-bereich stimmt nicht. 
-1 ist nicht richtig

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Durch die Einschränkung des Def-Bereichs
in der Frage
D = [ 0 ; ∞ [
und
W = [ -1 ; ∞ [

ergibt sich für die Umkehrfunktion
D = [ -1 ; ∞ [
und
W = [ 0 ; ∞ [

Ich war auch lange am Grübeln,
bleibe aber bei meiner Einschätzung.

Es handelt sich um eine Einschränkung
des Def-Bereichs der Umkehrfunktion
aufgrund der Fragestellung.

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Hier die Skizze


Der erste Punkt der Funktion ist
( 0 | -1 )
Der erste Punkt der Umkehrfunktion ist
( -1 | 0 )

Answer 2

y= x^2+x+(1/2)^2-(1/2)^2-1 = (x+1/2)^2-5/4

nach x umstellen:

y+5/4= (x+1/2)^2

x+1/2= ±√(y+5/4)

x= ...

Dann x und y vertauschen.

für D gilt:

x+5/4 >=0

x>= -5/4

D= [-5/4; oo[

Answer 3

Die Schreibweise x↦ x² + x-1 bedeutet y= x² + x-1

Addition von 5/4 auf beiden Seiten   y+5/4=x² + x+1/4

                                                                y+5/4=(x+1/2)²

                                                            ±√ (y+5/4)=x+1/2

                                                         -1/2 ±√ (y+5/4)=x, wobei x nicht negativ vorgegeben war.

x und yvertauschen   -1/2 ±√ (x+5/4)=y und das in der anderen Schreibweise  x↦  -1/2 ±√ (x+5/4).

Der Definitionsbereich in ℝ ist durch x+5/4≥0 bestimmt. Außerdem dürfen die Werte nicht negativ sein.