kern einer Matrix bestimmen

Question

Hallo ! Ich habe Verständnissprobleme mit kern einer Matrix.

Zum Beispiel ich habe die folgende Matrix

A =

(1,1,1,1

1,1,1,1,

-1,-1,-1,-1,

-1,-1,-1,-1)

Ich weiss, dass A*v = 0 sein muss mit v = (x1,x2,x3,x4)

und dann was soll ich noch machen ?

Answer 1

Das Gleichungssystem formst du um, da bleibt nur

x1+x2+x3+x4 = 0

also sehen die Lösungen alle so aus

-x2 -x3 - x4
x2
x3
x4

=

            -1                             -1                     -1
x2*        1       +       x3*        0       + x4  *     0
             0                              1                      0
             0                             0                       1

Der Kern ist also 3-dimensional mit den Basisvektoren, die du

da ablesen kannst.

Comments

es ist mir nicht ganz klar nach "also sehen die Lösungen alle so aus".

was ist das

-x2-x3-x4

X2

X3

x4

---

Das ist der Lösungsvektor

x1
x2
x3
x4

und x1 ist durch die anderen ausgedrückt

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Ich denke,dass ich es verstanden habe.Ein anderes Bsp ist

ker(1 ,-1,-1

2,-2,-2,

-1,1,1) und meine Lösung ist

<(1,1,0)T , (1,0,1)T> . Ist das richtig ?

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So passt es, Kern ist 2-dim.

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Vielen Dank ! nur noch eine

ker ( 1,1,-1,

0,-1,1

0,-1,1) = <(0,1,1)T,(1,0,0)T> = 2 ?

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Hier ist was falsch. Wenn du die

Matrix umformst hast du

1,1,-1
0,-1,1
0  0  0

aus der 2. Gleichung also x2 = x3

und das in die erste eingesetzt gibt

x1 + x3 - x3 = 0 also   x1 = 0 .

Dann sehen die Lösungen so aus
0
x3
x3

=   x3     *  (0,1,1)T

also der Lösungsraum <  (0,1,1)T  > 1-dimensional.