Differenzierbarkeit Funktion f(x): = x * |x|

Question

ist meine Rechnung zu der aufgabe richtig ?

Comments

Bei all deinen Brüchen und auch vor x und -x muss immer noch limes_(x->0) stehen.

Kürzen hat nichts mit Grenzwertbildung zu tun.

Du testest in deinem Bild nur die Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0 . (Fallunterscheidung sauber anschreiben!)

Im ganzen Rest des Definitionsbereichs deiner Funktion hast du auch dann noch nichts gezeigt.

Answer 1

Mach eine gescheite Fallunterscheidung

für x >= 0 gilt f1(x) = x^2

für x <= 0 gilt f2(x) = -x^2

An der Stelle x = 0 sollte der Graph Sprungfrei und Knickfrei sein. Also würde ich klar vermuten, dass die Funktion differenzierbar ist.

Und x = -x für x = 0 oder nicht ?

Comments

ah ja stimmt, ich habe am ende auch vergessen 0 einzusetzen...

Am ende muss ich nochmal mit L'hopital rechnen oder da x^2/x für 0 gleich null ist,

nach l'hopital dann 2x/1 und somit 2x= 0

                                               bzw. -2x=0

Also in ganz R diffbar oder?

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Wenn du l'hospital benutzt kannst du auch gleich f1(x) und f2(x) ganz regulär ableiten.

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also muss man gar nicht die Formel benutzen?

Oder klappt das nur bei der aufgabe so ohne der Formel auch?

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Das klappt auch so ohne Formel. Wie prüfst du die Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion ? Hast du das notiert?

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die ersten Ableitungen vergleichen... falls da der gleiche f(x) wert kommt dann diffbar...

aber haben in der Vorlesung nur die Formel gemacht, deshalb frage ich

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haben in der Vorlesung nur die Formel gemacht,

Welche Formel?

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Ich nehme an er meint die Formel für den Differentialquotienten.

Die ist aber nichts anderes als im Grenzfall die Ableitung über die Ableitungsregeln. Also wenn man Ableiten darf kann man die Formel des Differentialquotienten eigentlich fast vergessen.

Answer 2

es ist doch x*|x| / x  = |x| ,

Also ist der Grenzwert für x gegen x gleich 0, und damit ist f bei 0 diffb,

siehe auch

~plot~ x*abs(x) ~plot~

Sieht doch ganz ordentlich aus !