Extrema bestimmen von f=4^2-3xy unter NB x^2+y^2=1

Question

Huhu Mathefreunde,

folgende Aufgabe:

Für x^2+y^2 < 1 ist mir alles klar.

Wie bestimme ich jetzt mit dem Lagrange Multiplikator die Extrema für x^2+y^2 = 1? 
Ich habe ja

8x-3y = λ2x

-3x= λ2y

Wie finde ich λ, x und y? Und wie schaff ich das auch in Zukunft? Habe da tierische Probleme.

LG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wenn ich für Extrema zwei Werte mit Wurzeln gegeben habe, welche Werte nehme ich dann?

Stichworte: gleichung,funktion

Also um genau zu sein:

Ich habe 2 Anwärter für Extrema (Kritische Punkte) wie folgt
(1/√10, 3/√10) und (3/√10,1/√10)
Theoretisch hätte ich pro Punkt ja 4 Kombinationsmöglichkeiten von + und -. Welche Werte davon sind jetzt zu überprüfen? Einfach alle?

LG

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Naja, wenn du schon auf 2 Werte mit Wurzeln kommst, hast du wahrscheinlich eine Ableitung 4. Grades und hast substituiert oder? Solche Polynome können ja durchaus 4 Nullstellen haben, und somit die Funktion 4 mögliche Extremstellen, oder?

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Ja du nimmst einfach alle Variationen.

Siehe dazu auch die Lösung vom Rechenknecht:

https://www.mathelounge.de/463783/extrema-bestimmen-von-f-4-2-3xy-unter-nb-x-2-y-2-1

Answer 1

Zunächst mal kannst du einen Rechenknecht fragen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+4%C2%B7x%5E2+-+3%C2%B7x%C2%B7y+with+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+1&t=crmtb01

Und dann probierst du es per Hand

L(x, y) = 4·x^2 - 3·x·y - k·(x^2 + y^2 - 1)

L'x(x, y) = 8·x - 3·y - 2·k·x = 0 --> k = (8·x - 3·y)/(2·x)

L'y(x, y) = - 3·x - 2·k·y = 0 --> k = - 3·x/(2·y)

(8·x - 3·y)/(2·x) = - 3·x/(2·y) --> y = -x/3 ∨ y = 3·x

x^2 + y^2 = 1

x^2 + (-x/3)^2 = 1 --> x = ± 3/10·√10

x^2 + (3·x)^2 = 1 --> x = ± 1/10·√10

Das ist jetzt x. Daraus lässt sich y bestimmen und das untersuchst du dann noch auf Art des möglichen Extrema.