Funktion, Nullstellen 3i -3i i -i 5, Erklärung. Frage ist, ob die Funktion mehrfache Nullstellen hat?

Question

Wenn man die Nullstellen einer Funktion bestimmt hat, die zum Beispiel lauten:

3i -3i i -i 5

Die Frage ist, ob die Funktion mehrfache Nullstellen hat?

Hat sie das jetzt oder nicht?

Comments

Es ist keine Funktion zu erkennen. Korrigiere deine Frage noch. 

Answer 1

Wenn man die Nullstellen einer Funktion bestimmt hat, die zum Beispiel lauten:

3i -3i i -i 5

Die Frage ist, ob die Funktion mehrfache Nullstellen hat?

Hat sie das jetzt oder nicht?

Ob die Nullstellen nun mehrfache Nullstellen sind, lässt sich aus der Nullstellenmenge allein nicht ableiten. Es kann so sein, muss aber nicht.

Answer 2

Hallo Probe,

>  Wenn man die Nullstellen einer Funktion bestimmt hat, die zum Beispiel lauten:

>  3i  ,  -3i ,  i  ,  - i   und  5  

>  Die Frage ist, ob die Funktion mehrfache Nullstellen hat?

   3i  ,  -3i ,  i  ,  - i   und  5       sind  5  verschiedene  einfache  Nullstellen

z.B. der komplexen Funktion   

 f(z)  =  (z - 5) · (z - 3·i) ·(z + 3·i) · (z - i) · (z + i)  =  z^5 - 5·z^4 + 10·z^3 - 50·z^2 + 9·z - 45

An den Nullstellen ändert sich nichts, wenn man den Funktionsterm mit einer beliebigen komplexen Zahl ≠ 0 multipliziert.

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Übrigens fällt bei dem Polynomterm von f(z) auf, dass alle Koeffizienten der z-Potenzen reelle Zahlen sind. Das liegt daran, dass bei den von Dir aufgezählten Nullstellen konjugiert komplexe Zahlen  a±bi nur paarweise auftreten. Dass a bei Dir außer bei der reellen Nullstelle 5 immer den Wert 0 hat spielt dabei keine Rolle.

Gruß Wolfgang

Comments

f(z)=(z - 5) · (z - 3·i) ·(z + 3·i) · (z - i) · (z + i)

Was spricht denn gegen 

f(z)=(z - 5)^2 · (z - 3·i)^2 ·(z + 3·i)^2 · (z - i)^2 · (z + i)^2

 ?

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Du hast recht, danke für den Hinweis.

Das wäre dann die Funktion  

f(z)  = 

 z^10 - 10·z^9 + 45·z^8 - 200·z^7 + 618·z^6 - 1180·z^5 + 3130·z^4 - 1800·z^3 + 4581·z^2 - 810·z + 2025

Da der Grad des Polynoms 10 - also größer als 5 - ist, wäre - wenn man sicher alle Nullstellen bestimmt hat - klar, dass die Funktion mindestens eine mehrfache Nullstelle haben muss.

Eine komplexe Funktion n-ten Grades hat - wenn man die Nullstellen in ihrer Vielfachheit zählt - genau n Nullstellen.

Ohne Funktionsgleichung, an der man den Grad der Funktion erkennt,  kann man also über das Vorliegen mehrfacher Nullstellen nicht entscheiden.

@Probe

Sorry, ich hatte dummerweise angenommen, dass du irgendwie Probleme mit dem Zuordnen der Vorzeichen von ±3i bzw ±i  bzgl. einfacher oder mehrfacher Nullstellen hast. Blöder nächtlicher Gedankengang.

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 3i  ,  -3i ,  i  ,  - i   und  5       sind  5  verschiedene einfache Nullstellen.