Schatten der Pyramide mit Kantenlänge 4m auf Boden und Stufe berechnen

Question

Bitte um e Hilfe.

Berechnen und zeichnen Sie den Schatten der im Anhang stehenden Pyramide. 

Der genaue Aufgabentext lautet:

4. Berechnen und zeichnen Sie den Schatten, den die nebenstehende Pyramide mit der Kantenliange \( 4 \mathrm{m} \) und der Höhe 6 \( \mathrm{m} \) auf Boden und Stufe wirft. Die Stufe ist 2 \( \mathrm{m} \) hoch, ihre untere Kante liegt bei \( x_{2}=-4 \).
Die Richtung des Sonnenlichts ist \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{0,75} \\ {-2,5} \\ {-1}\end{array}\right) \)

Answer 1

Hallo MrMaths; Willkommen in der Mathelounge,

Die Aufgabe ist recht aufwendig. Streng genommen müsste man alle 4 Seitenflächen der Pyramide auf drei Ebenen projizieren. Mit einem - sagen wir mal genauen Hinguck - reicht es aber aus, die Kante der Pyramide, die im Ursprung beginnt und die gegenüberliegende zu projizieren. Ich nenne den Punkt im Ursprung \(D\) und den gegenüberliegenden \(B\). Es müssen also die drei Projektionen von \(DS\) und \(BS\) auf drei Ebenen berechnet werden. Die Koordinate \(S\) der Spitze der Pyramide ist

$$S= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6\end{pmatrix}$$

Mit "Kante" ist wohl die Kante der Grundfläche gemeint. Verlängert man den Strahl der Sonne von der Spitze aus, so erhält man die Gerade

$$s_S: \space x= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,75\\ -2,5\\ -1\end{pmatrix} \cdot t$$

Diese Gerade schneidet die horizontale Ebene \(E_1\) der Stufe

$$E_1: \space \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \cdot x = 2$$

genau dann, wenn der Ausdruck \(6-t\) (s.o. aus \(s_S\)) den Wert \(2\) annimmt - also bei \(t=4\). Folglich liegt der Schatten \(S'_1\) der Spitze \(S\) bei

$$S'_1=s(t=4)= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,75\\ -2,5\\ -1\end{pmatrix} \cdot 4 = \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ 2\end{pmatrix}$$

Genauso gehe ich beim Punkt \(D\) vor. Der Sonnenstrahl, der durch \(D\) geht ist

$$s_D: \space x = \begin{pmatrix} 0,75\\ -2,5\\ -1\end{pmatrix} \cdot t$$

Für \(t=-2\) wird der Z-Wert \(2\) - also ist

$$D'_1=\begin{pmatrix} 0,75\\ -2,5\\ -1\end{pmatrix} \cdot -2 = \begin{pmatrix} -1,5\\ 5\\ 2\end{pmatrix}$$

D.h. die in der obigen Skizze hintere Kante des Schattens auf der Oberseite \(E_1\) der Stufe geht von \(S'_1\) nach \(D'_1\) - wobei \(D'_1\) nicht mehr auf der Stufe liegt, da der Wert \(x_2\) von \(D'_1\) (=5) größer als \(-4\) ist. Bleibt also noch den Schnittpunkt der Schattenlinie mit der Vorderkante \(E_2\) der Stufe zu bestimmen.

$$E_2: \space \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \cdot x = -4$$

Die Gerade durch \(S'_1\) und \(D'_1\) ist

$$h_1: \space x = \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ 2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix} 5\\ -8\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1,5\\ 5\\ 2\end{pmatrix} \right) \cdot t = \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6,5\\ -13\\ 0 \end{pmatrix} \cdot t $$

Für \(t=-4/13\) nimmt der Wert von \(x_2\) hier den Wert \(-4\) an. Demnach ist der Schnittpunkt der hinteren Schattenline  \(h\) mit der Vorderkante der Stufe

$$\begin{pmatrix} 5\\ -8\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6,5\\ -13\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{-4}{13} =\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 2\end{pmatrix} $$

.. und in diesem Sinne geht es immer weiter. Ich habe Dir das, was ich bisher beschrieben habe, als Script in Geoknecht-3D angehängt (klick auf das Bild):

Für mehr ist es heute zu spät. Wenn Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

wenn Du das zeichnest, so solltest Du Dir vorher Gedanken machen in welcher Reihenfolge die verschiedenen Punkte gezeichnet werden. So kannst Du eine Menge Arbeit sparen. Ich empfehle Dir folgendes Vorgehen:

Zeichne zunächst die Pyramide und die beiden Kanten der Stufe. Dann beginne mit dem Punkt $$S'_3=E_3 \cap s_S=(6,5; -13; 0)^T$$ also mit der Projektion der Pyramidenspitze \(S\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene. Dann verbinde \(S'_3\) mit \(S\) - dem (gelben) Lichtstrahl, der über die Spitze streicht. Jetzt folgen die Punkte $$S'_1=E_1 \cap s_S =(5;-8;2)^T$$ und $$S'_2= E_2 \cap s_S=(3,8;-4;3,6)^T$$ also die Projektionen von \(S\) auf \(E_1\) (Stufenoberseite) und \(E_2\) (Stufenvorderkante).

Wenn Du nun \(S'_3\) und \(B\) verbindest (gestrichelte Linie) so schneidet diese Gerade die untere Kante der Stufe in \(P_1\). \(BP_1\) ist die erste Schattengrenze. Von \(P_1\) zeichnest Du eine Gerade zu \(S'_2\), die die obere Stufenkante in \(P_2\) schneidet. Und \(P_2\) verbindest Du mit \(S'_2\) - dann ist die vordere Schattenkante fertig. In genau der gleichen Weise verfährst Du mit der hinteren Schattenkante - ausgehend von \(D\).

Viel Erfolg dabei - und wie gesagt: bei Unklarheiten einfach nachfragen.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo MrMaths,

ich schreibe Vektoren in Zeilenform  [x ; y ; z] .

die Gerade g, auf der der Schattenpunkt S der Pyramidenspitze (2 | 2 | 6) liegt, hat die Gleichung

g_s :    [x ; y ; z] = [2 ; 2 ; 6] + r * [0,75 ; -2,5 ; -1]

Die z-Koordinate von S ist 2  →  6 - r_s = 2   →  r_s  = 4   →   S(5 | -8 | 2)

Die 4 Schattenpunkte auf der senkrechten Blockebene können wegen der Lichtrichtung nur von Punkten der linken hinteren und der vorderen rechten Pyramidenkante  ( k_h bzw. kv )   erzeugt werden, da das Licht sonst durch die Pyramide scheinen müsste.

 k_h verläuft durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor [ 2 ; 2 ; 6 ] = 2 * [ 1 ; 1 ; 3 ]. All ihre Punkte haben deshalb einen Ortsvektor der Form [ r ; r ; 3r ].

k_v  verläuft durch  (4|4|0) mit dem Richtungsvektor [ -2 ; -2 ; 6 ] = 2 * [ -1 ; -1 ; 3 ]. All ihre Punkte haben deshalb einen Ortsvektor der Form [ 4 - r ; 4 - r ; 3r ].

Die gesuchten zwei Schattenpunkte auf der unteren Kante des Blocks haben die Form             ( x | -4 | 0 ) , deshalb gilt:

[x, -4, 0] = [ r, r, 3·r ] + s·[0.75, -2.5, -1]   für den Schattenpunkt von der hinteren Pyramidenkante

      →   x = 2 ∧ r = 8/13 ∧ s = 24/13    und damit ergibt sich der Schattenpunkt  (2 | -4 | 0)

[x, -4, 0] = [4 - r, 4 - r, 3·r] + s·[0.75, -2.5, -1]  für den Schattenpunkt von der vorderen Pyramidenkante

      →  x = 88/17 ∧ r = 16/17 ∧ s = 48/17

                 und damit ergibt sich der Schattenpunkt  (88/17 | -4 | 0) 

Die gesuchten zwei Schattenpunkte auf der oberen Kante des Blocks haben die Form              ( x | - 4 | 2 ) , deshalb gilt:

[x, -4, 2] = [r, r, 3·r] + s·[0.75, -2.5, -1]  für den Schattenpunkt von der hinteren Pyramidenkante

     →  x = 3 ∧ r = 18/13 ∧ s = 28/13  und damit ergibt sich der Schattenpunkt  (3 | -4 | 2)

[x, -4, 2] = [4 - r, 4 - r, 3·r] + s·[0.75, -2.5, -1]  für den Schattenpunkt von der vorderen Pyramidenkante

    →  x = 75/17 ∧ r = 26/17 ∧ s = 44/17

                  und damit ergibt sich der Schattenpunkt  (75/17 | - 4 | 2)

Die Schattengrenzlinien in der x-y-Ebene beginnen im Ursprung bzw. im Punkt (4|4|0)

Gruß Wolfgang