Konvergenz von Reihen mit wurzel n

Question

Die Aufgabe lautet:

(a) Was besagt das Wurzelkriterium?
(b) Stellen Sie fest, welche der folgenden Reihen konvergieren. Geben Sie dabei verwendete Kriterien an und überprüfen Sie, ob alle Voraussetzungen erfüllt sind!
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n^{2}\right)^{n}}{2^{\left(n^{2}\right)}}, \quad\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}-1}{n \sqrt{n}+n+\sqrt{n}-1}\right) $$

Das erste Beispiel habe ich eh schon mit dem Wurzelkriterium gelöst. Die zweite Reihe sollte doch rein gefühlsmäßig auch konvergieren, oder? Ich würde es mit dem Majorantenkriterium machen, habe aber keine Ahnung wie man bei komplexeren Aufgaben wie dieser eine Majorante erhält. Das einzige was mir klar ist: Zähler verkleinern oder Nenner vergrößern. Wäre nett wenn mir jemand eine Majorante mit Schritt für Schritt Anleitung bilden könnte.

Lg

Comments

Tipp: betrachte die führenden Exponenten von n im Zähler und Nenner. Entscheide daher, wie sich der Summand im unendlichen Verhält und vergleiche zu bekannten Reihen.

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Ok, hab jetzt die Hochzahl als rationale Zahl ausgedrückt habe unten n^{1/2} herausgehoben. Damit erhalte ich : (n^{1/2}-1)/(n^{1/2}*(n+n^{1/2}+1)-1). Jetzt kann man praktisch die n^{1/2} durch n^1 und n durch n^2. Somit wende ändere ich den Zähler und Nenner so das der Bruch größer wird und ich erhalte 1/n^2 als Majorante. Stimmt das?

Lg

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So ist es nicht richtig, ich weiß aber nicht wo dein Fehler liegt da du im entscheidenden Moment deine Rechnung abgebrochen hast.

Besser wäre es im Nenner n^{3/2} auszuklammern.

Einfacher ist folgende Überlegung:

Die höchste Potenz im Zähler ist n^1.

Die höchste Potenz im Nenner ist n^{3/2}.

Im unendlichen kann man die kleineren Potenzen vernachlässigen. Daher gilt im unendlichen

Bruch≈ n^1 /n^{3/2}=1/n

Jetzt sollte dir klar sein, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

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Die höchste Potenz im Zähler ist doch 1/2, oder? Und 1/2-3/2=-2. Somit müsste es doch 1/x^2 sein? Weil im Zähler hat ma ja nur n^{1/2}-1

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Oops da hab ich mich verschrieben, im Zähler ist die höchste Potenz 1/2!

Und dann ist auch n^{1/2}/n^{3/2}

=n^{1/2-3/2}=n^{-1}=1/n

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Aja, ok, hab mich selbst verrechnet

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@Mani98
Die zweite Reihe sollte doch rein gefühlsmäßig auch konvergieren, oder?

Die zweite Reihe konvergiert nicht.

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Nach diesen Vorreden sollte klar sein, dass die Arbeitshypothese lauten muss: Die zweite Reihe divergiert, da sich das Reihenglied asymptotisch wie \(1/n\) verhaelt. Man wird also das Minorantenkriterium verwenden wollen und als Ergebnis haette man gerne $$\frac{\sqrt{n}-1}{n\sqrt{n}+n+\sqrt{n}-1}>\text{const}\cdot\frac{1}{n}\quad\text{fuer grosse $n$.}$$ Manipuliere dazu den Bruch einfach so lange in der richtigen Richtung (kleiner machen!), bis man \(\sqrt{n}\) kuerzen kann.

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Danke euch allen!

Ja, dass der Bruch dann divergiert ist klar, da ja die harmonische Reihe divergiert.

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An sich haette man ja gerne noch gesehen, wie Du jetzt konkret die Abschaetzung gemacht hast. Was ist denn jetzt Deine Minorante?

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Ja, hätte ich auch gern gesehen.

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@F

Nach diesen Vorreden sollte klar sein, dass die Arbeitshypothese lauten muss: Die zweite Reihe divergiert, da sich das Reihenglied asymptotisch wie 1/n1/n verhaelt. Man wird also das Minorantenkriterium verwenden wollen und als Ergebnis  Bruch > const * 1/n

Zeig doch mal die magische Konstante danke

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"Manipuliere dazu den Bruch einfach so lange in der richtigen Richtung (kleiner machen!), bis man √n kuerzen kann."

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Das muss doch immer gelten: Term-Bruch-Vorher = Term-Bruch-Nachher.

Bekommt man Term-Bruch-Nachher < Term-Bruch-Vorher dann gilt das nicht mehr. D.h. Bruch kleiner machen darf man nicht.

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\(\frac{n+3}{n-2}>\frac{n}{n}\) darf ich nach Deiner Logik nicht abschaetzen?? Du musst mal gucken, was "Abschaetzung" bedeutet. Von Gleichung ist da keine Rede.

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https://www.mathelounge.de/443926/konvergenz-und-divergenz-und-jetzt-komme-nicht-mehr-weiter

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Ich weiß was abschätzen ist,

es ist doch aber 1/n > (sqrt(n)-1) /( n*sqrt(n)+n + sqrt(n)-1) und ich kapiere nicht wie man durch kleiner machen von (sqrt(n)-1) /( n*sqrt(n)+n + sqrt(n)-1)

einen Term a la kleinergemachter-term > 1/n ?!?!?!!

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Zaehler: $$\sqrt{n}-1>\sqrt{n}-\sqrt{n}/2=\sqrt{n}/2$$

Nenner: $$n\sqrt{n}+n+\sqrt{n}-1<n\sqrt{n}+n+\sqrt{n}<n\sqrt{n}+n\sqrt{n}+n\sqrt{n}$$

Bruch: $$\frac{\sqrt{n}-1}{n\sqrt{n}+n+\sqrt{n}-1}>\frac{\sqrt{n}/2}{3n\sqrt{n}}=\frac{1}{6n}$$

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danke! :-)

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Answer 1

Nö, die Reihe divergiert https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1+to+infinity+(sqrt(n)-1)%2F(n+sqrt(n)%2Bn%2Bsqrt(n)+-+1)

macht man mit vergleich