Probleme Betragsungleichungen

Question

ich habe mal wieder ein Verständnisproblem.

Im ersten Bild sieht man eine Ungleichung mit meiner eigenen Lösung und der Musterlösung, dabei würde ich gerne Erfahren, warum man in der Musterlösung <= 2 schreibt obwohl die Bedingung <2 sein müsste?

Im zweiten Bild, habe ich meine Fragen gleich auf das Bild geschrieben, hoff man erkennt es, meine Lösung wäre immer mit Intervall gewesen, siehe selbst.

Hoffe ihr blickt dort etwas durch:)

Bedanke mich wie immer im Voraus.

Answer 1

zu a) Das von dir markierte \(\le2\) in der Musterlösung ist tatsächlich, wie von dir angemerkt, falsch, da es nicht aus der Fallbedingung folgt. Man hätte in der Fallbedingung aber bereits \(\le2\) schreiben können, daher ändert der Fehler am Ergebnis nichts; die Musterlösung ist schlampig formuliert.

Abgesehen davon wäre eine erste Fallunterscheidung nach \(|x|\) viel einfacher gewesen.

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zu b) Es gilt $$|x| \gt 1 \quad\Leftrightarrow\quad x \lt -1 \,\,\,\lor\,\,\, 1 \lt x$$Es ergeben sich also zwei Intervalle. Der Autor der Musterlösung wollte Platz sparen.

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zu c) Es wurden nur die Lösungsbedingungen für die einzelnen Fälle herausgearbeitet. In jedem Fall müssen aber auch die Fallbedingungen gelten, dies hat der Autor wohl als selbstverständlich vorausgesetzt. In den anderen Teilaufgaben hatte er den letzten Schritt, die Zusammenfassung der Fallunterscheidungsbedingung und der Falllösungsbedingung, noch hingeschrieben.

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Alles klar, ich bedanke mich für die Mühe, jetzt weiß ich wenigstens, dass meine Lösungen richtig sind.

Wünsche noch einen schönen Tag

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Kurz nochmal zu b), da habe ich gerade gesehen etwas anderes als x<−1∨1<x, ich habe dort ähnlich 1<|x|<wurzel(5) , das stimmt doch aber auch oder? Somit kann ich die beiden Intervalle vereinigen ( 1<|x|<3 ) und dann den Betrag auflösen, womit ich zum Ergebnis komme.

Answer 2

ich habe anders berechnet

| | x | - 2 | < 1
Beide Seiten sind positiv.
Für das Quadrat bleibt die Ungleichung
weiterhin richtig
( | x | - 2 )^2 < 1^2
x^2 - 4 * | x | + 4 < 1

Für den Rest sind 2 Fallunterscheidungen
notwendig

Bei Bedarf nachfragen.
Auch wegen der anderen Aufgaben.

Comments

Für den Rest sind 2 Fallunterscheidungen
notwendig
Es sind hier keine Fallunterscheidungen notwendig.