Wenn n und m natürliche Zahlen sind, dann ist n^{m+1}+n^m gerade

Question

Ich soll zeigen dass:

Wenn n und m natürliche Zahlen sind, dann ist n^(m+1)+n^m gerade.

Um das zu beweisen habe ich die Methode der vollständigen Induktion angewendet. Beim Induktionsschritt komme ich aber leider nicht mehr weiter.

Ich habe (n+1)^(m+1)+(n+1)^m= (n+1)^m*(n+1)+(n+1)^m =(n+1)^m*(n+1+1)

Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich würde es anders anpacken: Fallunterscheidung:

Jede Potenz einer geraden Zahl ist gerade , weil

eine gerade Zahl den Primfaktor 2 enthält und jede

Potenz davon also auch.

Also sind im Fall, das n gerade ist sowohl n^m+1 als auch n^m gerade

und damit auch deren Summe.

Jede Potenz einer ungeraden Zahl ist ungerade; denn eine ungerade Zahl

enthält den Primfaktor 2 NICHT, und beim Potenzieren kommen

ja keine neuen Primfaktoren hinzu, also sind die Potenzen auch

ohne Primfaktor 2.

Die Summe zweier ungerader Zahlen ist aber gerade.   q.e.d.

Answer 2

 n^(m+1)+n^m    | n^m kann man ausklammern. 

= n^m * n + n^m * 1  

= n^m (n+1) 

Falls n gerade ist, ist der erste Faktor und damit das Resultat gerade,

falls n ungerade ist, ist der zweite Faktor und damit auch das Resultat gerade.

q.e.d. 

Answer 3

Wegen

$$ n^k = n \text{ mod } 2 \in \left\{0,1\right\} \text{ für } 0 \ne k \in \mathbb{N}$$folgt die Behauptung auch ohne jegliches Umformen.