Fehler bei Finden des Kostenminimums einer Produktionsfunktion

Question

könnte mir jemand bei meiner Aufgabe helfen? Ich war mir eigentlich ziemlich sicher, dass mein Lösungweg stimmt, doch irgendwo müsste sich ein Fehler eingeschlichen haben.

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf F(K,L)=KL^3

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =19 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =24. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 580 ME produziert werden soll.

 Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum? 

Mein Rechenweg:

f(K,L,λ): 19K + 24L^3 - λ(KL^3 - 580)

L'1: L^3 = 19/λ -> L= 3√(19/λ)

L'2: K = 24/λ

L'3: KL^3 = 580

(24 * 19) / λ^2 = 580

456 = 580λ^2

λ^2 = 456 / 580

λ = 0,886683086

K = 27,06716794

Doch diese Lösung stimmt leider nicht.

Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen und meinen Fehler erläutern könnte!

LG

Answer 1

Hallo jackycola,

ein Fehler ist gleich ganz am Anfang. Es muss heißen:

$$f(K,L,\lambda) = 19K + 24L + \lambda(KL^3 - 580)$$

Das \(f\) ist die Kostenfunktion und die Kosten für die Arbeit \(L\) gehen nur linear ein und nicht in der dritten Potenz. Meine Lösung ist

$$K=\left( 580 \cdot \left( \frac{24}{3 \cdot 19} \right)^3\right)^{\frac{1}{4}} \approx 2,565$$

Gruß Werner

Comments

Dankeschön! Müsste bei der Lagrangefunktion (19K + 24L (+-?) λ(KL³ - 580) aber nicht ein "-" statt einem "+" zwischen L und λ stehen?

LG

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Das ist nicht das erste Mal, dass die Frage kommt. Bei den Wirtschaftsleuten scheint hier ein \('-'\) üblich zu sein.

Es ist aber völlig egal. Als Nebenbedingung hast Du hier \(N(K,L)=KL^3-580=0\) gewählt. Ein \(N(K,L)=580-KL^3=0\) wäre aber genauso richtig - hier ist das Vorzeichen dann invertiert. Du kannst auch irgendeinen Faktor \(\ne1\) vor das \(\lambda\) schreiben. Etwa

$$f(K,L,\lambda) = 19K + 24L + 42\lambda(580 - KL^3)$$

Auf das Ergebnis hat das keinen Einfluß; probier's ruhig mal aus.