Beispiel. Assoziativgesetz der Addition:
Seien f,g,h ∈ Abb(M,K). Dann gilt für jedes x∈M
((f+g)+h)(x) = (f+g)(x) + h(x) laut Definition von "+" in Abb(M,K)
= (f(x) + g(x)) + h(x) laut Definition von "+" in Abb(M,K)
= f(x) + (g(x) + h(x)) wegen Assoziativgesetz der Addition in K
= f(x) + (g+h)(x) laut Definition von "+" in Abb(M,K)
= (f+(g+h))(x) laut Definition von "+" in Abb(M,K).
Also gilt das Assoziativgesetz der Addition in Abb(M,K).
Ähnlich zeigst du, dass die übrigen Vektaumaxiome in Abb(M,K) erfüllt sind; du führst sie auf die entsprechenden Axiome im Körper zurück.
