Wieder Problem bei Rücksubstition -

Question

Aufgabe ( Löse folgende Gleichung ) 
t^{4} - 13t^{2} + 36 = 0  | t^{2} = u 
u^{2} - 13u + 36 = 0

Lösungsformel liefert folgende Lösungen
u_(1) = ( 6.5 - 2.5 ) / 2 = 2
u_(2) = ( 6.5 + 2.5 ) / 2 = 4.5

Rücksubstition 
t^{2} = 2 ⇒ t = √(2)
t^{2} = 4.5 ⇒ t = √(4.5)

Probe in die Gleichung
(√(2))^{4} - 13*(√(2))^{2} + 36 = 0
4 - 26 + 36 ≠ 0

Wenn ich √(4.5) einsetze, bekomme ich -2.25 also wieder ungleich null heraus.

Lösung gem. Buch
t_(1,2) = ±2
t_(3,4) = ±3


Frage
Ich glaube ich kann nicht mit Wurzeln rechnen. 

(1) Wie probiere ich hier die -√(2) ? 
(2) Ist (-√(2))^{4} = -√(2)*-√(2) = 2 oder -2 (ich glaube +2)   
     Es gäbe aber in beiden Fällen am Schluss +4

Answer 1

u_1.2= 13/2± √(169/4 -144/4)

u_1.2= 13/2± 5/2

u₁= 9

u₂= 4

t^2= u

9= u ---->u_1,2= ±3

4= u ---->u_1,2= ±2

Die Lösungen stimmen.

Comments

Super ich hab in der Determinante den Fehler gemacht und anstelle 25/4 einfach mit 25 weitergerechnet.

Vielen Dank !

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Aha, die Determinante... ?

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Diskriminante :-)

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Ja! :-)

Die Gleichung u² - 13u + 36 = 0 ließe sich auch gut mit der pq-Formel lösen.

Der Satz von Viéta wäre eigentlich noch schicker, denn wegen 4*9=36 und 4+9=13 ist

u² - 13u + 36 = 0
⇔
(u-4)*(u-9) = 0 
⇔
u=4 oder u=9.

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Perfekt, ja der Satz sieht echt gut aus der Satz von Vieta. :-)

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Ich muss den noch genauer anschauen, also mein Ziel ist es, solche Aufgaben evt. auch ohne Lösungsformel zu lösen.

x^{2}+2x+1 = (x + 1)(x + 1)

Das ist jetzt einfach, weil ich ja sofort sehe, dass x im quadrat steht und die 1 ja auch, aber dort oben sind es jeweils unterschiedliche Zahlen. Hast du ein Themenvorschlag, wo ich das lernen könnte oder ist das sogar der Satz von Vieta den ich lernen muss?

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Ja das wird wohl alles über Satz von Vieta gehen, die Frage allerdings, geht der Satz von Vieta nur wenn ich eine quadratische Gleichung in dieser Form vorliegen habe:

x^{2} + px + q = 0

Vorausgesetzt, dass

(1) x_(1) + x_(2) = -p

(2) x_(1) * x_(2) = q

Wenn ich jetzt

3x^{2} + 15x + 75 = 0

habe müsste ich ja zuerst *1/3 auf beide seiten multiplizieren, oder, also hier könnte ich den S.v.V. nicht direkt anwenden ?

Answer 2

u₁ = ( 6.5 - 2.5 ) / 2 = 2
u₂ = ( 6.5 + 2.5 ) / 2 = 4.5

Falsch

u1 = 4
u2 = 9

Comments

Vielen Dank, fehler war in der Diskriminante :-/

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:-)

                                             

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Hallo limo,

wir unterhalten uns generell um die Ermittlung
der Nullstellen von Funktionen 2.Grades

f ( x ) = a*x^2 + b*x + c

bzw

a*x^2 + b*x + c = 0

Der Satz von Vieta ist nur in Sonderfällen
für ganzzahlige Lösungen geeignet.
Ich benutze ihn gar nicht.

Die Standardlösungsmöglichkeiten sind
- Mitternachtsformel
- pq-Formel
- quadratische Ergänzung
Ich benutze nur die quadratische Ergänzung

Beispiel
2x^2 - 26x + 72 = 0
Hier kann die Mitternachtsformel
verwendet werden.

Oder man bringt die Gleichung in die
Form ohne Koeffizienten vor dem x^2

2x^2 - 26x + 72 = 0 | : 2
x^2 - 13x + 36 = 0

Jetzt kann die pq-Formel oder
die quadratische Ergänzung angewendet
werden

Quadratische Ergänzung um einen
Teil der Gleichung in eine binomische
Form umzuwandeln.
Quadratische Ergänzung : die Hälfte
der Vorzahl von x zum Quadrat.

x^2 - 13x + 36 = 0
x^2 - 13x + (13/2)^2 - (13/2)^2 + 36 = 0
( x - 13/2)^2  = -36 + 169/4
( x - 13/2)^2  = -36 + 169/4 = 25/4
Wurzelziehen
x - 13/2 = ± √ 25/4
x - 13/2 = ± 5/2

x = 5/2 + 13/2
x = 9
x = -5/2 + 13/2
x = 4

Answer 3

Hallo Limonade,

u² - 13u + 36 = 0 

(u - 9) * (u - 4) = 0

u = 9  oder u = 4

Du musst dich bei der Lösungsformel vertan haben.

ax² + bx + c = 0

abc-Formel:  a = 1 ,  b = -13 , c = 36

u_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\)) / (2a)  =  ( 13 ± √(169 - 144) ) / 2  = (13 ± 5) / 2 

Gruß Wolfgang