Wie funktioniert Intervallhalbierungsverfahren zum Bestimmen von Nullstellen?

Question

Frage oben. Dankeeeee !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!  xD

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https://www.youtube.com/watch?v=wxpJwOXt-DE

Answer 1

https://www.youtube.com/watch?v=poOt34st_ao

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Das habe ich mir schon angeguckt aber ich weiß dass man intervallhalbierung nicht so aufschreibt

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Warum sollte man das nicht so aufschreiben? In dem Video wird das Prinzip erklärt, wle letztlich die Tabelle aussieht und welche Werte drin stehen, ist für das Prinzip nicht relevant.

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Hast Du eine bestimmte Funktion im Sinn, an der Du das üben möchtest?

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0=-6*pi*r^2-4*pi*r^3+10000

Z.B. diese Gleichung. Mein Problem besteht darin wie und was ich aufschreiben soll. Wäre mega nett, wenn du mir helfen könntest!

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Die (reelle) Nullstelle von f(r) = -6*pi*r^2 - 4*pi*r^3 + 10000 soll also bestimmt werden.

Welche Hilfsmittel dürft ihr benutzen? Gibt es einen Aufgabentext? Oft ist in solchen Aufgaben ein Intervall vorgegeben, für das man eine Wertetabelle erstellen soll.

Fang erstmal mit einer Wertetabelle an um festzustellen, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

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Die Nullstelle mit VZW ist zwischen 8 und 9. Mit dem Newtonverfahren hab ich die richtige Lösung (x=8,7) bekommen.

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Zwischen 8 und 9, so ist es. Ich bekomme 8,8 wenn ich eine Stelle nach dem Komma runde. Und jetzt? Prinzipiell würde man ja mit einer Wertetabelle anfangen, um zu sehen, wo ungefähr die Nullstelle liegt. Das können wir uns ja jetzt schenken.

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Oder besser doch nicht:

x	7	8	9
y	4766,12	2359,65	-687,70

Wir sehen einen Vorzeichenwechsel im Intervall [8, 9].

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Und was macht man jetzt?

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Das Intervall wird halbiert x_m = 1/2·(8 + 9) = 8.5
8.5 ist die Intervallmitte..
Der Funktionswert in der Intervallmitte ist f(8.5) =  920.8
Weil der Wert positiv ist, bekommen wir ein neues Intervall [8.5, 9].
Wäre der Wert negativ, hätten wir das Intervall [8, 8.5].

So geht das immer weiter, bis f(x_m) nahe genug bei Null ist.

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Für obiges vielleicht noch eine Tabelle, braucht man aber nicht unbedingt aber falls ihr eine erstellen sollt dann brauchst Du eine.

x	8.5	9
y	920.8	-687.70

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Vielleicht noch ein paar Schritte mehr:

Jetzt halbieren wir das Intervall [8.5, 9] und bekommen eine neue Intervallmitte x_m = (8.5 + 9)/2 =  8.75
f(8.75) = 138,34
Unser neues Intervall: [8.75, 9]

x	8.75	9
y	-269,15	-687.70

Jetzt noch ein paar Werte ohne bla bla
x_m = (8.75 + 8.875)/2 = 8.8125
f(8.8125) = -64,034 => [8.75, 8.8125]

x	8.75	8.8125
y	-269.15	-64.034

x_m = (8.75 + 8.8125)/2 = 8.78125
f(8.78125) = 37.5 => [8.78125, 8.8125]

x	8.78125	8.8125
y	37.5	-64.034

x_m = (8.78125 + 8.8125)/2 = 8.796875
f(8.796875) = -13,18 => [8.78125, 8.796875]

x	8.78125	8.796875
y	37.5	-13.18

x_m = (8.78125 + 8.796875)/2 = 8.7890625
f(8.7890625) = 12,12 => [8.7890625, 8.796875]

x	8.7890625	8.796875
y	12,12	-13.18

x_m = (8.7890625 + 8.796875)/2 = 8.79296875
f(8.79296875) = -0,497 => [8.7890625, 8.79296875]

x	8.7890625	8.79296875
y	8.7890625	-0.497

x_0 = 8.79296875 ist bisher unsere beste Näherung, das sollte soweit reichen!

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Schade, dass man das nicht kürzer lösen kann... xD

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Gerne :-)
Mit dem Newtonverfahren sollte das schneller gehen, hab ich noch nicht ausprobiert.
Die Aufgabe soll doch wohl sowieso nur Lehrzwecken dienen, um mal zu gucken wie das funktioniert? So aufwendig macht man das in der Praxis wohl eher selten bis gar nicht, das erledigen Programme. Gib doch mal Deine Gleichung 0=-6*pi*r^2-4*pi*r^3+10000 z.B. hier ein: https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D-6*pi*r%5E2-4*pi*r%5E3%2B10000
Unter "Real solution" findest Du das Ergebnis r ≈ 8.7928

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Ja ist eine Aufgabe zu Lernzwecken. Vielen Dank für den Link. Den werde ich gebrauchen können!!