Ganz Grundsätzlich - Quadratische Gleichung, Rechenweg richtig odr geht es einfacher + Überprüfung wie?

Question

Aufgabe
x^{2}+6x+5 = 0 

Rechenweg
x^{2}+6x+5 = 0 
x^{2}+6x   + (6/2)^{2}    +5 = 0 + (6/2)^{2}
x^{2}+6x   + (3)^{2}    +5 = 0 + (3)^{2}
(x + 3)^{2} +5 = 9 
(x + 3)^{2} = 4

Frage
Ab diesem letzen Schritt, habe ich die 1. binomische Formel auf der linken Seite. 
Wie löse ich das nun auf?
(Ich frage weil ich  trotz Lösungen noch unsicher bin weil die binom. Formel ja Klammer mal Klammer ist und aufgelöst eine andere Form hat als a+b quadriert im unterschied zu einem Klammer-Faktor.)

(1) Muss jetzt die in der Klammer selbst eine 2 oder -2, was anschliessend quadriert zu 4 wird, stehen, oder
(2) sollte da x^{2}+6x+9 = 4 sein?
(3) Wie überprüft man die Lösung, ich habe es einfach im Grapher "geplottet" und konnte die Nullstellen ablesen, (Sind richtig)

Der Graph im Grapher-programm




 

Answer 1

(x + 3)² = 4 Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen: x+3=±2 und dann x₁=-5 oder x₂=-1. Kürzer ist hier der Satz von Vieta:
x²+6x+5 = (x+5)(x+1) und dann der Satz vom Nullprodukt.

Comments

Stimmt, das kann ich so auflösen....

x^{2} + 2x - 8 = 0 
x^{2} + 2x + (2/2)^{2} - 8 = (2/2)^{2} 
x^{2} + 2x + (1)^{2} - 8 = (1)^{2}
(x+1)^{2}  =  9     | √
x+1 = ±3
x = ± 3 - 1
⇒ x_(1) = -3-1 = -4
    x_(2) = +3-1 = 2

Ich denke hier erübrigt sich die Probe, denn die Lösungen sind eindeutig bestimmt. 

Answer 2

alternativ: dritte binomische Formel:

(x+3)^2-4=0

(x+3+2)(x+3-2)=0

(x+5)(x+1)=0

Comments

x^{2} + 5x + 6 = 0 
(x_(1) + 2)(x_(2) + 3) = 0 

Es gilt,

(1) -[ x_(1) + x_(2) ] = p und (2) x_(1) * x_(2) = q

(1)
-[ x_(1) + x_(2) ] = p und x_(1) * x_(2) = q
-[ x_(1) + x_(2) ] = p
-[ x_(1) + x_(2) ] = 5
-[ -2 + -3 ] = 5
2 - (-3) = 5 
2 + 3 = 5 
 
(2) 
x_(1) * x_(2) = q
(-2) * (-3) = 6
 
Aussage wahr, wenn x_(1) = -2 , x_(2) = -3


Richtig wenn ich das so rechne?
Also ich hab auch im Kopf gesehen, dass es -2 und .3 als Lösungen haben muss aber bei komplizierteren Zahlen soll es auch rechnerisch gehen. :)

---

Der Ansatz lautet

(x-x1)*(x-x2)=0

Deine weiteren Berechnungen mit dem Satz von Vieta sind richtig.

Man kann bei diesem Beispiel die Lösung x1=-2 und x3=-2 gut erraten,

manchmal ist dies aber schwierig, z.B wenn die Lösungen nicht ganzzahlig sind.

Deshalb gibt es die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, bzw. quadratische Ergänzung, weil man da gar nicht raten muss.

---

Vielen Dank,

Jawohl ich beherrsche (auch wenn hin und wieder, wie gestern algebraische fehler passieren =Bruchrechnung) die Lösungsformel.

Aber zum Beispiel muss man meistens bei kubischen Gleichungen die Polynomdivision machen und daraus resultiert dann eine quadratische Gleichung, dann finde ich die Lösungsformel anzuwenden etwas viel weil ich beobachte, dass oft danach viele die quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen können und ich glaube eben, dass der Satz von Vieta in diese Richtung geht.