Wendepunkte f(x) = arcsin(sin b * sin d + cos b * cos d * cos x)

Question

Ich möchte die Wendepunkte der Funktion f(x) = arcsin(sin b * sin d + cos b * cos d * cos x) ermitteln und brauche dafür die Ableitungen.

Comments

Wenn du keine weiteren Vorgaben hast, kannst du annehmen, dass b und d konstant sind. D.h. du suchst die Wendepunkte von

f(x) = arcsin( A  + B * cos x) , wobei A und B nicht grösser als 1 sind. (Vielleicht noch zu grobe Abschätzung). 

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tatsächlich kann man die Formel so vereinfachen, was mir nicht hilft, da ich die Ableitungen so auch nicht hin bekomme...

Es handelt sich hierbei um die Berechnung des Höhenwinkels im horizontalen Koordinatensystem, es geht darum, die Bewegungen eines Himmelspunktes nachzuvollziehen.

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f(x) = arcsin(A+B*cos(x))   |   sin()

sin(f(x)) = A+B*cos(x)   |   d()/dx

f'(x)*cos(f(x)) = -B*sin(x)

f'(x) = -B*sin(x) / cos(f(x))

f'(x) = -B*sin(x) / cos(arcsin((A+B*cos(x)))

Answer 1

f(x) = ASIN(a + b·COS(x))

[ASIN(x)]' = 1/√(1 - x^2)

Dann Ableitung mit Kettenregel

f'(x) = 1/√(1 - (a + b·COS(x))^2) * (- b·SIN(x))

f'(x) = - b·SIN(x) / √(1 - (a + b·COS(x))^2)

f''(x) = b·(a·b·COS(x)^2 + (a^2 + b^2 - 1)·COS(x) + a·b) / (1 - (a + b·COS(x))^2)^{3/2}

Wendepunkte f''(x) = 0

b·(a·b·COS(x)^2 + (a^2 + b^2 - 1)·COS(x) + a·b) = 0

(a·b)·COS(x)^2 + (a^2 + b^2 - 1)·COS(x) + a·b = 0

Subst COS(x) = z

(a·b)·z^2 + (a^2 + b^2 - 1)·z + a·b = 0

z1 = (√(a^4 - 2·a^2·(b^2 + 1) + b^4 - 2·b^2 + 1) - a^2 - b^2 + 1)/(2·a·b) ∨

z2 = - (√(a^4 - 2·a^2·(b^2 + 1) + b^4 - 2·b^2 + 1) + a^2 + b^2 - 1)/(2·a·b)

Das sieht nicht wirklich schön aus.

Comments

Schön sieht es wirklich nicht aus, hilft aber trotzdem und ich hätte es nicht hinbekommen, dazu ist der Matheunterricht einfach zu lange her.

Und es ist allemal schöner, als meine Reihenentwicklung, die ich gestern erstmal vornahm, um mir ein Bild zu machen!

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Es funktioniert! Hier mal eine Veranschaulichung: